牛客-小y的盒子

题目传送门

-------------------稍加观察就会发现，4ⁿ - 1就是题目要的答案。至于为什么，看官方的题解。不过这个n非常的大，用正常快速幂解决不了。这道题我学到的就是解决幂非常大的情况。

官方题解传送门

sol1：之前好像做过一道类似的题目，想不出来，在群里看到网友发了一个名词叫十进制快速幂。然后根据这个名字自己意淫通了。一般的快速幂是把幂当成二进制用位运算进行处理。但是字符串不方便进行二进制位运算，不过用同样的方式进行十进制操作就很方便了。如果对二进制快速幂理解够深刻还是很好明白的；

• 十进制快速幂

  #include "bits/stdc++.h"
  using namespace std;
  const int MAXN = 1e5 + 10;
  char s[MAXN]; int p;
  int quick_pow_2(int n, int k) {
      int ans = 1;
      while (k) {
          if (k & 1) ans = 1LL * ans * n % p;
          n = 1LL * n * n % p;
          k >>= 1;
      }
      return ans;
  }
  int quick_pow_10(int n, char* k) {
      int ans = 1;
      for (int i = strlen(k) - 1; i >= 0; i--) {
          ans = 1LL * ans * quick_pow_2(n, k[i] ^ '0') % p;
          n = quick_pow_2(n, 10);
      }
      return ans;
  }
  int main() {
      int t;
      scanf("%d", &t);
      while (t--) {
          scanf("%s%d", s, &p);
          printf("%d
  ", (quick_pow_10(4, s) + p - 1) % p);
      }
      return 0;
  }

sol2：解决这样的问题，更主流的方法还是欧拉降幂，我也是刚学的。看官方题解中的代码不是用十进制快速幂做的，于是学习了一下。原先只知道费马小定理，现在感觉费马小定理就是欧拉降幂的一种特殊情况。原理搞不懂，结论就是：a ^ b % c = a ^ (b %  euler(c) + euler(c)) % c。其中euler(c)表示小于c且和c互质的正整数的个数。

• 欧拉降幂

  #include "bits/stdc++.h"
  using namespace std;
  typedef long long LL;
  const int MAXN = 1e5 + 10;
  char s[MAXN]; int p;
  int euler(int n) {
      int ans = n;
      for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
          if (n % i == 0) {
              ans = ans / i * (i - 1);
              while (n % i == 0)
                  n /= i;
          }
      }
      if (n != 1) ans = ans / n * (n - 1);
      return ans;
  }
  int quick_pow(int n, int k) {
      int ans = 1;
      while (k) {
          if (k & 1) ans = 1LL * ans * n % p;
          n = 1LL * n * n % p;
          k >>= 1;
      }
      return ans;
  }
  int main() {
      int t;
      scanf("%d", &t);
      while (t--) {
          scanf("%s%d", s, &p);
          int m = euler(p); LL k = 0; 
          bool ok = false;
          for (int i = 0; s[i]; i++) {
              k = k * 10 + s[i] - '0';
              if (k >= m) {
                  ok = true;
                  k %= m;
              }
          }
          if (ok) k += m;
          printf("%d
  ", (quick_pow(4, k) - 1 + p) % p);
      }
      return 0;
  }