随机变量与概率分布

随机变量可以粗略分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。下面介绍这两种随机变量的典型分布。

离散型随机变量

1. 两点分布

随机变量X的取值有且只有0和1，其概率取值如下所示：

P(x=1)=p

P(X=0)=1-p

其中p∈(0,1)

两点分布是伯努利分布的一种特殊情况，即B(1,p)

2. 二项分布与超几何分布

二项分布与超几何分布的区别可以理解为二项分布是有放回的抽样，而超几何分布是无放回的抽样。形式化定义如下：

二项分布：

考虑独立试验序列概型问题。设每次试验只有“成功”和“失败” 两种可能结果，成功概率为 p, q = 1 − p，其中0 < p < 1，独立重复试验 n次。

令 X 表示 n 次试验中成功的次数。则 X 的取值范围为 {0,1,2,...,n}，X取值的概率如下：

 

X服从二项分布记为，X~B(n,p)

超几何分布：

设有 N 个同类产品，其中 M 个次品。从中任取 n 个(假定n ≤ N − M)。则这 n 个中的次品数 X 是离散型随机变量 ,X服从超几何分布，概率分布如下所示：

 

3. 泊松分布

若随机变量X的分布为

则X服从泊松分布，记为X~Possion(λ)

若二项分布的p很小，n很大，则可以用泊松分布近似计算二项分布。

连续型随机变量

对于随机变量 X，如果存在非负可积函数 p(x)(−∞ < x < ∞)，使对任意 a, b(a < b) 都有 

则称 X 为连续型随机变量，称 p(x) 为 X 的概率密度函数。

连续型随机变量不关心在某一点的概率，只关心在某一个区间的概率分布。

1. 均匀分布

若随机变量X服从均匀分布，即X~U[a,b]，则X的概率密度函数如下所示：

2.指数分布

若随机变量X服从指数分布，即X~E(λ)，则X的概率密度函数如下所示：

3.正态分布

 若随机变量X服从正态分布，即X~N(μ,σ2 )，则X的概率密度函数如下所示：

其中μ 决定曲线中心位置，σ 越大，曲线越平缓，σ 越小，曲线越陡峭。

当μ =0，σ2=1时，随机变量服从标准正态分布，此时概率密度函数是一个关于y轴对称的钟型曲线，一般情况下，一般正态分布都要标准化为N(0,1)，标准化的方法为Y=(X-μ)/σ。

对于标准正态分布，概率密度函数和分布函数有特殊符号φ(t)、Φ(x)表示，即

则P(a < X < b) =Φ(b)−Φ(a) ，一般正态分布在某个区间的概率可以标准化后采用Φ表示其概率。

根据标准正态分布的对称性，可以得到如下公式

Φ(−x) = 1 − Φ(x), x ∈ (−∞,∞)