Part1:从解方程组谈起
栗子:试讨论以下方程的解.
[egin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1qquad(1)\
a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2qquad(2)
end{cases}
]
解:将((1))乘以(a_{21}),((2))乘以(a_(11))有
[egin{cases}
a_{11}a_{21}x_1+a_{12}a_{21}x_2=a_{21}b_1qquad(3)\
a_{11}a_{21}x_1+a_{22}a_{11}x_2=a_{11}b_2qquad(4)
end{cases}
]
消去(x_1)有
[(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-a_{21}b_1
]
即
[x_2=frac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
]
重复对(x_2)消元,有
[x_1=frac{a_{22}b_1-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}
]
当(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
e0)时,方程组有唯一解;
当(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0)时,若(a_{11}b_2-a_{21}b_1=a_{22}b_1-a_{12}b_2=0),则方程有无穷多组解;否则,方程无解.
为了方便,我们引入记号
[egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\
a_{21}&a_{22}
end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
]
称为二阶行列式(determinant).于是,记
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}\
a_{21}&a_{22}
end{vmatrix}
]
称为方程组的系数行列式,而
[D_1=egin{vmatrix}
b_1&a_{12}\
b_2&a_{22}
end{vmatrix},
D_2=egin{vmatrix}
a_{11}&b_1\
a_{21}&b_2
end{vmatrix}
]
分别称为是用常数列((b_1,b_2))替换系数行列式第(1,2)列得到的行列式.于是,方程组的解就可以表示为
[x_1=frac{D_1}D,x_2=frac{D_2}D,D
e0
]
Part:三阶行列式
考虑以下方程组:
[egin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=b_1\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=b_2\
a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3
end{cases}
]
引入
[egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
end{vmatrix}\
egin{align}
&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}\
&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
end{align}
]
称为三阶行列式,令
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
end{vmatrix},
D_1=egin{vmatrix}
b_1&a_{12}&a_{13}\
b_2&a_{22}&a_{23}\
b_3&a_{32}&a_{33}
end{vmatrix},
D_2=egin{vmatrix}
a_{11}&b_1&a_{13}\
a_{21}&b_2&a_{23}\
a_{31}&b_3&a_{33}
end{vmatrix},
D_3=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&b_1\
a_{21}&a_{22}&b_2\
a_{31}&a_{32}&b_3
end{vmatrix},
]
则方程组的解可表示为:
[x_1=frac{D_1}D,x_2=frac{D_2}D,x_3=frac{D_3}D
]
为方便记忆,对于三阶行列式有对角线法则:
红线上的数相乘取正号,蓝线上的数相乘取负号,相加即可.
栗子:计算行列式
[D=egin{vmatrix}
2&0&1\
1&-4&-1\
-1&8&3
end{vmatrix}
]
解:由对角线法则,
[egin{align}
D&=2 imes(-4) imes3+0 imes(-1) imes(-1)+1 imes1 imes8\
&-1 imes(-4) imes(-1)-0 imes1 imes3-2 imes(-1) imes8\
&=-24+8-4+16=-4.
end{align}
]
Part3:(n)阶行列式
定义:对于(n imes n)个数组成的数表
[egin{matrix}
a_{11}&dots&a_{1n}\
vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&dots&a_{nn}
end{matrix}
]
称
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&dots&a_{1n}\
vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
称为这(n imes n)个数排成的(n)阶行列式,记作
[D=det_n(a_{ij})=|a_{ij}|_n
]
其中,(a_{ij})称为行列式的元素.
行列式的计算规则为
[D=sum_{pinOmega}left[left(-1
ight)^{sigma(p)}prod_{i=1}^n a_{ip_i}
ight]
]
其中,(Omega)是(1,2,dots,n)全体排列((n!)个)构成的集合,(sigma(p))表示排列(p)中的逆序对个数,即所有满足(i<j)且(p_i>p_j)的((i,j))的对数.
克拉默法则
对于一个(n)元方程组
[egin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+dots+a_{1n}x_n=b_1\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+dots+a_{2n}x_n=b_2\
vdots\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+dots+a_{nn}x_n=b_n
end{cases}
]
记
[D=det_n(a_{ij})=egin{vmatrix}
a_{11}&dots&a_{1n}\
vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
称为该方程组的系数行列式,而
[D_{i}=egin{vmatrix}
a_{11}&dots&a_{1(i-1)}&b_1&dots&a_{1n}\
a_{21}&dots&a_{2(i-1)}&b_2&dots&a_{2n}\
vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots\
a_{n1}&dots&a_{n(i-1)}&b_n&dots&a_{nn}
end{vmatrix}
]
为将系数行列式中的第(i)列替换为((b_1,b_2,dots,b_n))的行列式,(i=1,2,dots,n),则当(D
e0)时,方程组有唯一解
[x_i=frac{D_i}D,i=1,2,dots,n
]
当(D=0)且
[D_1=D_2=dots=D_n=0
]
时,方程组有无穷多组解;否则,方程组无解.上述关于行列式和线性方程组的结论称为克拉默法则(Cramer's Rule),可以方便地计算方程组的解.
Part4:行列式的按行展开
显然,根据定义计算行列式是非常繁琐的,从分析学上讲,这样的复杂度至少是(O(n!cdot nlog n))的.于是,我们应当尽量简化计算.
余子式的定义
对于行列式(D=det_n(a_{ij}))的某个元素(a_{ij}),将其所在行和列的所有元素都去掉所构成的(n-1)阶行列式称为(a_{ij})的余子式(cofactor),记为(M_{ij}).比如,对于四阶行列式
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\
a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}
end{vmatrix}
]
(a_{22})的余子式就等于
[M_{22}=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{13}&a_{14}\
a_{31}&a_{33}&a_{34}\
a_{41}&a_{43}&a_{44}
end{vmatrix}.
]
特别地,定义(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}),称为(a_{ij})的代数余子式.
行列式降阶
任何一个行列式等于其某一行(列)的元素与其代数余子式的乘积之和.即,设选取的行(列)为(j),则
[D=sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}=sum_{i=1}^n a_{ji}A_{ji}.
]
比如,对于三阶行列式,有
[D=egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\
a_{31}&a_{32}&a_{33}
end{vmatrix}\
egin{align}
&=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\
&=a_{11}egin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{32}&a_{33}end{vmatrix}-a_{12}egin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\a_{31}&a_{33}end{vmatrix}+a_{13}egin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{vmatrix}\
&=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}\
&-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}
end{align}
]
这样,就可以把(n)阶行列式的计算转化为(n)个(n-1)阶行列式的计算,如此降阶下去,直到降为(2)阶,即可直接计算,复杂度就降到了(O(n!)).然而,尽管如此,行列式的计算还是很慢.之后,我们会介绍快速的(O(n^3))高斯消元法.
本文完