Part0:三角函数系的正交性
我们称
[(0),1,sin x,cos x,sin 2x,cos 2x,sin 3x,cos 3x,...,sin nx,cos nx,...
]
为三角函数系(trigonometric functions).三角函数系在区间([-pi,pi])上正交(orthogonal),即对于其中任意两个互不相等的函数,其在([-pi,pi])上的积分等于零.即,
[int_{-pi}^{pi}sin nx=int_{-pi}^{pi}cos nx=0;(n=0,1,2,dots)\
int_{-pi}^{pi}sin nxcos mxmathrm{d}x=0;(n,m=0,1,2,dots)\
int_{-pi}^{pi}sin nxsin mxmathrm{d}x=int_{-pi}^{pi}cos nxcos mxmathrm{d}x=0.(n
e m,n,m=0,1,2,dots)
]
对于相等的函数,我们有
[int_{-pi}^{pi}1mathrm{d}x=2pi;\
int_{-pi}^{pi}sin^2 nxmathrm{d}x=pi;\
int_{-pi}^{pi}cos^2 nxmathrm{d}x=pi.(n=1,2,dots)
]
我们只需用积化和差公式即可证明.证明略.
Part1:三角级数与傅里叶级数
我们知道,简单的周期运动可表述为以下形式:
[y=Asin(omega t+varphi)
]
(又称之为谐波函数(harmonic function))其中(A)称为振幅(amplitude),(omega)称为角频率(angular frequency),(varphi)称为初相(initial phase).我们考虑一个复杂的周期运动
[y=A_0+sum_{n=1}^{infty}A_nsin(nomega t+varphi_n)
]
记(frac{a_0}2=A_0,a_n=A_nsin(varphi_n),b_n=A_ncos(varphi_n),x=omega t),则级数可表达为
[y=frac{a_0}2+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)
]
称有上述形式的级数为三角级数(trigonometric series).
设(f(x))是周期为(2pi)的周期函数,假设(f(x))可展开成有上述形式的三角级数,那么有
[a_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxmathrm dx,(n=0,1,2,dots)\
b_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxmathrm dx.(n=1,2,dots)
]
我们来证明这一结论.
证: 由三角函数的正交性,两端积分,有
[egin{align}
int_{-pi}^{pi}f(x)mathrm dx&=frac{a_0}2int_{-pi}^{pi}mathrm dx+sum_{n=1}^{infty}(a_nint_{-pi}^{pi}cos nxmathrm dx+b_nint_{pi}^{pi}sin nxmathrm dx)\
&=a_0pi\
herefore a_0&=frac1{pi}int_{pi}^{pi}f(x)mathrm dx
end{align}
]
我们在两端同乘以(cos kx)并积分,得
[egin{align}
int_{-pi}^{pi}f(x)cos kxmathrm dx&=frac{a_0}2int_{-pi}^{pi}cos kxmathrm dx+sum_{n=1}^{infty}(a_nint_{-pi}^{pi}cos nxcos kxmathrm dx+b_nint_{pi}^{pi}sin nxcos kxmathrm dx)\
&=a_kint_{-pi}^{pi}f(x)cos^2 kxmathrm dx=a_kpi\
herefore a_k&=frac1{pi}int_{pi}^{pi}f(x)cos kxmathrm dx
end{align}
]
类似地,用(sin kx)同乘两端并积分,得
[egin{align}
int_{-pi}^{pi}f(x)sin kxmathrm dx&=frac{a_0}2int_{-pi}^{pi}sin kxmathrm dx+sum_{n=1}^{infty}(a_nint_{-pi}^{pi}cos nxsin kxmathrm dx+b_nint_{pi}^{pi}sin nxsin kxmathrm dx)\
&=b_kint_{-pi}^{pi}f(x)sin^2 kxmathrm dx=b_kpi\
herefore b_k&=frac1{pi}int_{pi}^{pi}f(x)sin kxmathrm dx
end{align}
]
综上,有
[a_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxmathrm dx,(n=0,1,2,dots)\
b_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxmathrm dx.(n=1,2,dots)
]
我们称(a_n,b_n)为(f(x))(所确定)的傅里叶系数(Fourier coefficient),以(f(x))的傅里叶系数为系数的三角级数称为傅里叶级数(Fourier series),记为
[oxed{
f(x)sim frac{a_0}2+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nx+b_nsin nx),\
a_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxmathrm dx,(n=0,1,2,dots),\
b_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxmathrm dx.(n=1,2,dots).}
]
然而,我们只是假设了傅里叶级数存在,并未说明假设究竟什么时候成立,即(f(x))满足什么条件才可以展开成傅里叶级数.事实上,有
狄利克雷(Dirichlet)条件
设(f(x))是周期为(2pi)的周期函数,若(f(x))满足狄利克雷条件,即，
(1.)在一个周期上只有有限个第一类间断点;
(2.)在一个周期上只有有限个极值点;
则(f(x))可展开为傅里叶级数,且
[frac{a_0}2+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nx_0+b_nsin nx_0)=\
egin{cases}
f(x_0),x_0 ext{为连续点},\
frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}2,x_0 ext{为第一类间断点}.
end{cases}
]
事实上,狄利克雷条件是函数能展开成傅里叶级数的充分不必要条件.
我们来看一个例子.
例 设(f(x))是周期为(2pi)的周期函数,它在一个周期([-pi,pi])上的表达式如下:
[f(x)=egin{cases}
-1,-pile x<0,\
1,0le x<pi
end{cases}
]
试将(f(x))展开成傅里叶级数.
解:先求傅里叶系数:
[egin{align}
a_n&=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)cos nxmathrm dx\
&=frac1{pi}(int_{-pi}^0(-1)cos nxmathrm dx+int_0^{pi} 1cdotcos nxmathrm dx)\
&=0.(n=0,1,2,dots)
end{align}
]
[egin{align}
b_n&=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(x)sin nxmathrm dx\
&=frac1{pi}(int_{-pi}^0(-1)sin nxmathrm dx+int_0^{pi} 1cdotsin nxmathrm dx)\
&=frac1{pi}left[frac{cos nx}n
ight]_{-pi}^0+frac1{pi}left[-frac{cos nx}n
ight]_0^{pi}=frac2{npi}(1-cos nx)\
&=frac2{npi}[1-(-1)^n]=egin{cases}
frac4{npi},n=1,3,5,dots,\
0,n=2,4,6,dots,\
end{cases}
end{align}
]
[egin{align}
herefore f(x)&=frac4{pi}sum_{n=1}^{infty}frac1{2n-1}sin[(2n-1)x],(xinR,x
e 0,pmpi,pm2pi,dots,pm kpi,dots)\
&=frac4{pi}[sin x+frac13sin 3x+frac15sin 5x+dots+dots]
end{align}
]
特别地,当(x=kpi,(kin))时,级数收敛于(0).
Part2:任意周期函数的傅里叶级数
我们设(f(x))是周期为(2l)的周期函数,我们另(u=frac{pi x}l),则(f(u))可以展开成傅里叶级数,且
[f(u)sim frac{a_0}2+sum_{n=1}^{infty}(a_ncos nu+b_nsin nu),\
a_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(u)cos numathrm du,(n=0,1,2,dots)\
b_n=frac1{pi}int_{-pi}^{pi}f(u)sin numathrm du.(n=1,2,dots)
]
带入(u=frac{pi x}l),得
[oxed{
f(x)sim frac{a_0}2+sum_{n=1}^{infty}(a_ncosfrac{npi x}l+b_nsin frac{npi x}l),\
a_n=frac1lint_{-l}^lf(x)cos frac{npi x}lmathrm dx,(n=0,1,2,dots)\
b_n=frac1lint_{-l}^lf(x)sin frac{npi x}lmathrm dx.(n=1,2,dots)}
]
这就是任意周期函数的傅里叶级数展开公式.对于任意周期的周期函数,狄利克雷条件类似.
本文完