A. A simple Problem(2019武大校赛现场赛)(吉比特杯第二届湖北省程序设计大赛) 解题报告
xzc 2019/4/15
题意：
求下列式子，其中有K个b
((((a)^b)^b)^b...)^b % p
数据范围：
1<=a,b,p<=1E7
1<=k<=1E18
输入：
第一行一个T，代表T组数据
下面有T行，每行4个数，a,b,k,p
输出：
T行，每行一个整数
样例输入：
3
2 3 1 10000
3 2 2 80
342 234 567 89
样例输出：
8
1
2
思路：
拓展欧拉定理：
a^b%p = a^(b%phi[p]+phi[p]) % p ( b>phi[p] )
a^b%p = a^(b%phi[p]) % p ( b<=phi[p] )
- Phi[p]的衰减速度很快，不到100次就会变为1，然后任意数%1=0
- 所以我们递归求解即可
- 判断k个b的幂是否>p可以在求快速幂时，顺便处理出来
- 具体见代码
我的代码：
/*
Author: xzc
time: 723ms
status：AC
A. A simple problem
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(register int i=(a);i>=(b);--i)
#define Mst(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn =1e7+100;
int sushu[maxn/10];
bool notPrime[maxn];
int phi[maxn];
void getPhiTable(int * p);
LL fast_pow(bool & ok,LL a,LL b,LL m)
{ //快速幂，oK用于返回a^b是否大于m
ok = false;
LL ans = 1;
while(b)
{
if(b&1)
{
ans = ans*a;
if(ans>m) ok = true;
if(ans>=m) ans %= m;
}
a = a*a;
if(a>m) ok = true;
if(a>=m) a%=m;
b>>=1;
}
return ans;
}
LL f(bool & big,LL b,LL k,LL p,bool &flag) //求 (((b^b)^b)...) % p
{ //flag用于记录之前小于K个b的幂是否大于p
//printf("进入了第%lld层，要计算%lld个%lld %% %lld
",k,k,b,p);
if(k==1)
{
if(b>p) b = b%p+p,flag = true;
else b = b%p;
return b;
}
if(p==1) return 1;
bool ok = false;
LL y = f(ok,b,k-1,phi[p],flag);
if(ok||flag) y += phi[p],flag = true;
//printf("回到了第%lld层，要计算pow(%lld,%lld,%lld)
",k,b,y,p);
return fast_pow(big,b,y,p);
}
/*
4
87 2 77 83
29 2 53 57
9122259 6 57 57
50 4 35 9684961
Answer:
70 4 39 9211933
*/
int main()
{
//freopen("02.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
getPhiTable(phi);
int T;
LL a,b,p,k;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&k,&p);
int pp = phi[p];
bool ok = false;
bool flag = false;
LL zz = f(ok,b,k,pp,flag);///zzz = (((b^b)^b)...) % pp K个b
if(ok||flag) zz += pp;
LL ans = fast_pow(ok,a,zz,p);
printf("%lld
",ans);
}
return 0;
}
void getPhiTable(int *p)
{
int cnt = 0;
int n = maxn-50;
p[1] = 1;
For(i,2,n)
{
if(!notPrime[i])
{
sushu[cnt++] = i;
p[i] = i-1;
}
for(int j=0;j<cnt&&1ll*i*sushu[j]<=n;++j)
{
notPrime[i*sushu[j]] = true;
if(i%sushu[j])
p[i*sushu[j]] = p[i]*(sushu[j]-1);
else
{
p[i*sushu[j]] = p[i]*(sushu[j]);
break;
}
}
}
}