BZOJ 1006 完美消除序列&最大势算法&弦图

　　K国是一个热衷三角形的国度,连人的交往也只喜欢三角原则.他们认为三角关系:即AB相互认识,BC相互认识,CA相互认识,是简洁高效的.为了巩固三角关系,K国禁止四边关系,五边关系等等的存在.所谓N边关系,是指N个人 A1A2...An之间仅存在N对认识关系:(A1A2)(A2A3)...(AnA1),而没有其它认识关系.比如四边关系指ABCD四个人 AB,BC,CD,DA相互认识,而AC,BD不认识.全民比赛时,为了防止做弊，规定任意一对相互认识的人不得在一队，国王想知道最少可以分多少支队。

 

子图:V'为V的子集 E'为E的子集

诱导子图:对于V' 只要在G中有边 那么在G'中同样应该有边

最大独立集:最大的一个点的子集使任何两个点不相邻——最大独立集数

最大团:点数最多的团——团数

最小染色:用最少的颜色给点染色使相邻点颜色不同——色数

最小团覆盖:用最少个数的团覆盖所有的点——最小团覆盖数

结论:  团数<=色数  最大独立集数<=最小团覆盖数 

弦(Chord):连接环中不相邻的两个点的边

弦图:一个无向图称为弦图，当图中任意长度大于3的环都至少有一个弦

弦图的每一个诱导子图一定是弦图

弦图的判断:

ZJU1015

给定一个无向图，判定它是否为弦图

单纯点:设N(v)为与点v相邻的点的点集 一个点是单纯点当且仅当{v}+N(v)的诱导子图为一个团

引理:任何一个弦图都至少有一个单纯点  不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点

完美消除序列:

一个点的序列(每个点出现且恰好出现一次)V1,V2....Vn满足Vi在{Vi,Vi+1,Vn}的诱导子图中为一个单纯点

定理:一个无向图是弦图当且仅当它有一个完美消除序列

MCS算法O(n+m):

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#define N 10000 + 10
#define M 2000000 + 10
 
using namespace std;
 
struct edge
{
    int to, next;
}e[M];
int n, m, num, ans, maxs;
int p[N], seq[N], col[N], lab[N], flag[N];
struct node
{
    int now;
    node *next;
}f[N];//链表
void add(int x, int y)
{
    e[++num].to = y;
    e[num].next = p[x];
    p[x] = num;
}
void put(int x)
{
    node *po = (struct node *)malloc(sizeof(struct node));
    po->next = f[lab[x]].next;
    po->now = x;
    f[lab[x]].next = po;
}//链表的插入
void read(int &x)
{
    x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9')
    {
        x = (x << 1) + (x << 3) + c - '0';
        c = getchar();
    }
}
void init()
{
    int x, y;
    read(n), read(m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        read(x), read(y);
        if (x == y) continue;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
}
void create()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    f[i].next = NULL;//
    for (int i = 1; i <= n; ++i) put(i);
    maxs = 0;//初始化
    for (int i = n; i; i--)//用逆序求
    {
        node *po = f[maxs].next;//找到当前最大
        while(flag[po->now])
        {
            f[maxs].next = po = po->next;//及时删除没有用的点（漏掉的话会超时）
            while(po == NULL)
            {
                maxs--;
                po = f[maxs].next;
            }
        }
        f[maxs].next = po->next;//更新
        while(f[maxs].next == NULL) maxs--;
        int x = po->now;
        flag[x] = 1, seq[i] = x;
        for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)
        if (!flag[e[j].to])
        {
            ++lab[e[j].to];//加势
            if (lab[e[j].to] > maxs) maxs = lab[e[j].to];
            put(e[j].to);
        }
    }
}
void paint()
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    flag[i] = -1;
    for (int i = n; i; i--)
    {
        int x = seq[i];
        for (int j = p[x]; j; j = e[j].next)
        flag[col[e[j].to]] = i;
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
        if (flag[j] != i)
        {
            col[x] = j;
            break;
        }
        if (ans < col[x]) ans = col[x];
    }
}
void deal()
{
    create();
    paint();
    printf("%d
", ans);
}
int main()
{
    //freopen("kingdom.in", "r", stdin);
    //freopen("kingdom.out", "w", stdout);
    init();
    deal();
    return 0;
}