Tarjan 算法&模板

Tarjan 算法

一.算法简介

Tarjan 算法一种由Robert Tarjan提出的求解有向图强连通分量的算法，它能做到线性时间的复杂度。

 

我们定义：

如果两个顶点可以相互通达，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

例如：在上图中，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 三个区域可以相互连通，称为这个图的强连通分量。

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。

再Tarjan算法中，有如下定义。

DFN[ i ] : 在DFS中该节点被搜索的次序(时间戳)

LOW[ i ] : 为i或i的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号

当DFN[ i ]==LOW[ i ]时，为i或i的子树可以构成一个强连通分量。

 

二.算法图示

以1为Tarjan 算法的起始点，如图

顺次DFS搜到节点6

 回溯时发现LOW[ 5 ]==DFN[ 5 ] ,  LOW[ 6 ]==DFN[ 6 ] ,则{ 5 } , { 6 } 为两个强连通分量。回溯至3节点，拓展节点4.

拓展节点1 ， 发现1再栈中更新LOW[ 4 ]，LOW[ 3 ] 的值为1

 回溯节点1，拓展节点2

自此，Tarjan Algorithm 结束，{1 , 2 , 3 , 4 } , { 5 }　,  { 6 } 为图中的三个强连通分量。

不难发现，Tarjan Algorithm 的时间复杂度为O(E+V).

三.算法模板

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;

typedef long long ll;

const double pi = acos(-1.0);
const int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int V = 150, E = 100500;

struct Edge {
    int to, next;
} edge[E];

int head[V], num;   //记录树的结构
int idx;    // 记录时间戳
int top, S[V];  //记录堆栈
int indeg[V], outdeg[V];    //记录入度、出度
int low[V], dfn[V];     //low记录能追溯到最前面的点，dfn记录dfs序
int belong[V], scc; //Belong[i] = a; 表示i这个点属于第a个连通分量 scc为连通分量个数
bool vis[V];    //标记是否进栈

int n;

int addedge(int u, int v)
{
    edge[num].to = v;
    edge[num].next = head[u];
    head[u] = num++;
}

void tarjan(int u)
{
    int v;
    dfn[u] = low[u] = ++idx;
    S[top++] = u;
    vis[u] = 1;
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        v = edge[i].to;
        if (dfn[v] == 0) //v还未遍历
        {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]); //确保low[u]最小
        }
        else if (vis[v]) //如果在堆栈中
        {
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if (dfn[u] == low[u]) //表示找完一个连通分量
    {
        ++scc;
        do
        {
            v = S[--top];
            vis[v] = 0;
            belong[v] = scc;
        } while (u != v);
    }
}

int solve()
{
    scc = top = idx = 0;
    ms(dfn, 0);
    ms(vis, 0);
    for (int u = 1; u <= n; u++)
    {
        if (dfn[u] == 0)
        {
            tarjan(u);
        }
    }
    return scc;
}

void count_deg()
{
    ms(indeg, 0);
    ms(outdeg, 0);
    for (int u = 1; u <= n; u++)
    {
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
        {
            int v = edge[i].to;
            if (belong[u] != belong[v])
            {
                indeg[belong[v]]++;     //v所在的连通块入度++
                outdeg[belong[u]]++;    //u所在的连通块出度++
            }
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    while (~scanf("%d", &n))
    {

	num=0;
        ms(head, -1);
        for (int u = 1; u <= n; u++)
        {
            int v;
            while (~scanf("%d", &v) && v)
            {
                addedge(u, v);
            }
        }
        solve();
        if (scc == 1)
        {
            printf("1
0
");
        }
        else
        {
            count_deg();
            int num_in = 0, num_out = 0;
            for (int i = 1; i <= scc; i++)
            {
                if (indeg[i] == 0)
                    num_in++;
                if (outdeg[i] == 0)
                    num_out++;
            }
            printf("%d
%d
", num_in, max(num_in, num_out));
        }
    }
    return 0;
}

转自：http://www.cnblogs.com/shadowland/p/5872257.html