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  • 素数筛法

    入土

    初识c++的素数筛举,n2暴力,枚举每一个数,如果这个数的约数只有两个,它就为质数

    入门

    n2时,只判断到根号就刹车

    经典

    埃式筛法

    O(nloglogn)

    基本思想:从2开始,将每个质数的倍数都标记成合数,以达到筛选素数的目的

    node
    int vis[maxn];  
    void Prime(){
        memset(vis,0);           //初始化都是素数
        vis[0] = vis[1] = 1;  //0 和 1不是素数
        for (int i = 2; i <= maxn; i++) {
            if (!vis[i]) {         //如果i是素数,让i的所有倍数都不是素数
                for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) { 
                    vis[j] = 1;
                }
            }
        }
    

    缺陷:
    对于一个合数,有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……
    那么如何确保每个合数只被筛选一次

    进阶

    欧拉筛

    O(n)

    基本思想:在埃氏筛法的基础上,让每个合数只被它的最小质因子筛选一次,以达到不重复的目的

    node
    int prime[maxn];
    int visit[maxn];
    void Prime(){
        memset(visit,0);
        memset(prime, 0);
        for (int i = 2;i <= maxn; i++) {
            if (!visit[i]) {
                prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数, 这个prime[0] 相当于 cnt,用来计数
            }
            for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
                visit[i*prime[j]] = 1;
                if (i % prime[j] == 0) {
                    break;
                }
            }
        }
    }
    

    1.对于visit[i*prime[j]] = 1 的解释:

    这里不是用 i 的倍数来消去合数,而是把 prime里面纪录的素数,升序来当做要消去合数的最小素因子
    用 i 来当倍数

    2.对于 i % prime[j] == 0 就break的解释 :

    当 i 是 prime[j]的倍数时,i = k * prime[j],如果继续运算 j+1,i * prime[j+1] = prime[j] * k * prime[j+1],

    这里prime[j]是最小的素因子,当i = k * prime[j+1]时会重复,所以才跳出循环

    举个例子 :i = 8 ,j = 1,prime[j] = 2,如果不跳出循环,prime[j+1] = 3,8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12,

    在i = 12时会计算,因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

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