平衡树——Splay

前言

学了 FHQ Treap ，据说那玩意能代替 Splay，所以就懒得学Splay 了 = =，直到老吕给我们讲了 Splay，发现这玩意确实也挺香滴 /se

这儿主要参考 attack 学长的博客，所以这就不再详细写了（主要是懒）

简介

Splay 也是平衡树的一种，所以它还是基于二叉搜索树的

主要思想：对于查找频率较高的节点，使其处于离根节点相对较近的节点

Splay 的特色操作：rotate 和 Splay

操作

具体操作和 Treap 类似，但是这不是父亲向下挪，而是儿子向上挪（效果其实一个样），相比于 Treap，Splay 要维护每个点父亲的信息

rotate

使得一个点挪到它的父亲节点

• 当 X 是 Y 的左孩子

      R                R
                       
        Y                X
       /      ->       /  
      X               A    Y
     /                   / 
    A   B                B   C

• 当 X 是 Y 的右孩子

      R                      R
                             
        Y                      X
      /           ->         / 
     A    X                 Y    C
         /                / 
        B    C            A   B

发现：如果让 X 成为 Y 的父亲，只会影响三个点关系，B 与 X， X 与Y， X 和 R

规律：

B 成为 Y 的哪个儿子与 X 是 Y 的哪个儿子是一样的

Y 成为 X 的哪个儿子与 X 是 Y 的哪个儿子相反

X 成为 R 的哪个儿子与 Y 是 R 的哪个儿子相同

那么只需要得出每个点是它父亲的什么儿子就好了

Splay

把 x 节点挪到 to 节点

• 如果 to 是 x 的爸爸，直接把 x 旋上去
• 如果 x 和它爸爸，爷爷在同一条直线就先旋父亲，再旋儿子
• 若 x 和它爸爸，爷爷不在同一条直线上，旋两次 x 就好

Insert

在二叉树中找到它的位置，插入，然后把它转到根节点，就好了

Delete

找到目标节点，把它转到根，分情况讨论

• 该节点有重复值，直接减
• 它没有左右儿子：直接删
• 它没有左儿子：把根置为右儿子
• 它既有左儿子，也有右儿子：在左儿子中找到最大值，旋转到根，右儿子当做新根的右儿子

Rank

找到它的位置，根据子树大小确定它的排名

Kth

根据子树大小确定它的位置

query pre(rec)

和 Treap 一个样

至于代码

还没加工出来 = =