01 分数规划

01 分数规划

基本01分数规划问题

给定一个二元组 ((value_i,cost_i)) ，(value_i) 是选择此二元组获得的价值（非负），(cost_i) 是这个二元组的代价（非负），设 (x_i (x_i in {0, 1})) 表示第 (i) 个二元组选不选，最大化(最小化)下面柿子

[max(min)~r = frac{sum value_i * x_i}{sum cost_i * x_i} ]

下面以最大值为例（最小值也一个样）

[max_r = frac{sum value_i * x_i}{sum cost_i * x_i}\ ~~\ sum value_i * x_i - maxr * sum{cost_i * x_i} = 0 ]

构造一个函数

(f(r) = sum value_i * x_i - r * sum{cost_i * x_i})

对于如果 (x_i) 确定那么 (f(r)) 就成了 (f(r) = -kr + b) 的一条直线 (k, b) 都为常数

因为 (value_i) 和 (cost_i) 都非负，所以 (k, b > 0) ，所有直线都是一条斜率为负，纵截距为正的直线

画出来是这样的

求最大的 (r) 就是求一条横截距最大的直线

求一条垂直于 (y) 的线

• 如果存在直线与这条直线的交点纵坐标为正，则最优解在该直线右边
• 如果所有直线与这条直线的交点纵坐标为负，则最优解在该直线左边
• 如果一条直线与该直线交点纵坐标为 0，其余都为负，则该交点横坐标为最优解 (max_r)

具体实现

对 (r) 二分答案

• (max(f(r)) > 0) ，(max_r > r) 二分右区间

• (max(f(r)) < 0)， (max_r < r) 二分左区间

• (max(f(r)) = 0) ，(max_r = r) 统计答案

接下来就剩怎么求 (max(f(r))) 了

对上面的柿子稍微变一下形

(f(r) = sum (value_i - r * cost_i)*x_i)

对于前面的一坨如果知道了 (r) 可以直接求，然后现在就是找一组 (x_i) 使得 (f(r)) 最大，怎么求这一组 (x_i)，要根据具体题目分析

最优比率环基本模型

luogu P2868 [USACO07DEC]Sightseeing Cows G

题目大意：

(N) 个点，(M) 条边的有向图，从中找出一个环，使得环上 $ P = frac{sum_{i =1}^{i leq n}F_i}{sum_{i = 1}^{i leq m}T_i}$ 最大

solution

根据上面所说，先把式子变形

$ sum_{i =1}^{i leq n}F_i - P * sum_{i = 1}^{i leq m}T_i = 0$

把柿子化成函数形式

$F(p) = sum_{i =1}^{i leq n}F_i - P * sum_{i = 1}^{i leq m}T_i $

和上面一样对 (P) 二分答案， 接着判断二分的 (P) 合不合法

也就是判断 $sum_{i =1}^{i leq n}F_i - P * sum_{i = 1}^{i leq m}T_i $ 与 0 的关系，那就要想办法求出 (F(p))

观察右边的柿子，其实不难发现它的本质就是找一个环，而判断与 (0) 的关系就是看在图中是否能找一个符合条件的正环

坑点：二分时的精度

code

参考：tianxiang971016