完全背包问题

完全背包问题

来源

https://www.acwing.com/problem/content/3/

Description

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

Input

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

Output

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

Sample Input

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

Sample Output

10

分析问题:

1. 完全背包问题:每种物品可以取无限次

2. 完全背包问题的分析可以借助于01背包问题的一维解决方案,惟一的不同的点就是j维的枚举时从小到大的(可以说更加简单),这里仍然使用dp问题的分析框架:

   • 状态表达式:dp[j]表示j体积下的物品最大价值
   • 转态转移方程:dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i])
   • 初始化:dp[0]=0

   #include <stdio.h>
   #include <stdlib.h>
   #include <iostream>
   #include <algorithm>
   #include <string.h>
   #define INF 0x3f3f3f3f
   
   using namespace std;
   
   const int N=1e3;
   int dp[N+10],w[N],v[N];  //dp[i]在i体积下的最大价值
   
   int main()
   {
       int n,m;
       while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
           memset(dp,0,sizeof dp);
           for(int i=1;i<=n;i++){
               scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
           }
           for(int i=1;i<=n;i++){
               for(int j=w[i];j<=m;j++){
                   dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
               }
           }
           cout << dp[m] << endl;
       }
   }