多重背包问题

多重背包问题

来源

https://www.acwing.com/problem/content/4/

Description

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

Input

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

Output

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

Sample Input

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

Sample Output

10

分析问题:

1. 多重背包问题:每种物品可以取s[i]次

2. 多重背包问题的分析同样可以借助于01背包问题的一维解决方案,不同的点就是需要增加k维以枚举物品的取用次数:

   • 状态表达式:dp[j]表示j体积下的物品最大价值
   • 转态转移方程:dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i])
   • 初始化:dp[0]=0

   #include <stdio.h>
   #include <stdlib.h>
   #include <iostream>
   #include <algorithm>
   #include <string.h>
   #define INF 0x3f3f3f3f
   
   using namespace std;
   
   const int N=1e3;
   int dp[N+10],w[N],v[N],s[N];  //dp[i]在i体积下的最大价值
   
   int main()
   {
       int n,m;
       while(~scanf("%d %d",&n,&m)){
           memset(dp,0,sizeof dp);
           for(int i=1;i<=n;i++){
               scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&s[i]);
           }
           for(int i=1;i<=n;i++){
               for(int j=m;j>=w[i];j--){  //基于0/1算法改进,所以这里同样需要从大到小遍历
                   for(int k=1;k<=s[i]&&k*w[i]<=j;k++){  //需要保证物品的个数和对应的总体积之和小于m
                       //cout << k*v[i] << endl;
                       dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);
                   }
               }
           }
           cout << dp[m] << endl;
       }
   }