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普瑞姆(Prim)算法:
假设N = (V, {E})是连通网，TE是N上最小生成树边的集合,U是是顶点集V的一个非空子集，算法从U = {uo}(u0 属于 V)，TE = {}开始，重复执行下述动作:
在所有u属于U，v属于V - U的边(u, v)，且(u, v)属于E中找一条代价最小的边(u0, v0)并并入集合TE中，同时v0并入U,直至U = V为止。此时TE中必有n - 1条边，则T = (V, {TE})为N的最小生成树。
为了实现这个算法，需要另设一个辅助数组lowcost，lowcost[i]代表V - U中点 i 到 U中某点的最小代价。假如用edge[x][y] 代表 x 和 y 之间的代价为edge[x][y]，那么lowcost[i] = Min{edge[i][j] | i 属于 V - U, j 属于 U}。
时间复杂度:O(n^2)，适合点少边多稠密图。
用图描述:
N的初始图:
假设从V1开始生成，T 为最终的MST，G 为(V - T{v}, E - T{e} - (lowcost[i], T{v}) | lowcost[i] = INF)(有点乱貌似，继续看图吧)
则图T: 则图G:
lowcost[i]代表N 中的每个点能连通T的最小代价，点 i 如果不能直接和 T 中某点连通则值应为INF(无穷大)，如果点 i 已经属于T，则标记为红色，值为-1。
可以看到 N 中的 V4 到T的代价最短，则选择 V4 加入 T 中。
则图T变为: 则图G变为:
由于V4的加入，所以需要更新lowcost数组，lowcost[i] = min(lowcost[i], edge[i][v4])(i 属于 V(G))。lowcost[v2] = 7，而edge[v2][v4] = 9,那么lowcost[v2] 仍然是 7;locost[v3] = INF，而edge[v3][v4] = INF，那么lowcost[v3] 仍然是 INF;lowcost[v4][v4] = -1;lowcost[v5] = INF，而edge[v5][v4] = 15，那么应该把lowcost[v5]更新为15;同理edge[v6][v4] < lowcost[v6]，则应该更新为 6;lowcost[v7]不变。
则lowcost变为:
可以看到，lowcost[v6]代价最小,那么选择V6加入T中
则图T变为: 则图G变为:
继续根据更新lowcost的公式,lowcost[i] = min(lowcost[i], edge[v6][i]),(i 属于 V(G))更新lowcost数组。
则lowcost变为:
继续选择代价最小的，lowcost[v2] 最小，那么把 v2 加入 T 中
则图T变为: 则图G变为:
执行lowcost[i] = min(lowcost[i], edge[v2][i])。
则得到的lowcost数组为：
同样选择代价最小的lowcost[v5]，即把V5加入T中。
则图T变为: 则图G变为:
执行lowcost[i] = min(lowcost[i], edge[v5][i])。
则得到的lowcost数组为：
继续选择代价最小的lowcost[V3]，把V3加入到T中
则图T变为: 则图G变为:
执行lowcost[i] = min(lowcost[i], edge[v3][i])。
则得到的lowcost数组为：
显而易见，选择V7加入T中
则图T变为:
至此，算法结束，得到的图T就是所寻找的MST！！！
代码( 未优化, 时间复杂度: O(N2) ):
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cstdlib> #include <cmath> #include <cctype> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 103; const int INF = 0x3f3f3f3f; //最大值 int edge[MAXN][MAXN]; //邻接矩阵 int used[MAXN]; //标记这个点是否在最小生成树的集合(是否在T中)里面 0 代表未加入 1 代表加入 int lowcost[MAXN]; //存放的是未被加入集合的点(G中的点)到已经被加入集合的点(T中的点)的最短距离 int N,M; int prim(int start,int maxn) //假设 从 start 开始寻找MST， maxn 代表点的个数 { used[start] = 1; for(int i = 1; i <= maxn; i++) //刚开始只有start 这个点在集合里面 所以初始化这个数组为到集合之外的各个点的距离 ，如果没有则是无穷大（INF） { lowcost[i] = edge[start][i]; } int sumweight = 0; // MST 的权值 int ok = 0; for(int i = 1; i <= maxn; i++) { int minn = INF ; //为找到最短的那条边 int v = -1; //标记找的那个点 for(int j = 1; j <= maxn; j++) //开始寻找集合之外得点到集合之里的点的最短边 { if(used[j] == 0 && lowcost[j] < minn) //在集合之外的点寻找最短的边 { minn = lowcost[j]; v = j; } } if(v != -1) //找到了 v 这个点 { ok++; used[v] = 1; //标记已被使用 sumweight += lowcost[v]; //更新权值 for(int j = 1; j <= maxn; j++) //更新存放最短边的集合(lowcost) { if(used[j] == 0 && lowcost[j] > edge[v][j]) //在集合之外(G)得点 寻找到集合之里(T)各个点的最短边 更新数组 { lowcost[j] = edge[v][j]; } } } } if(ok == maxn -1) //找到了 return sumweight; return -1; //没找到 } int main() { while(cin >> N >> M && N) { memset(edge, 0x3f, sizeof(edge)); //清空为最大值 memset(used, 0, sizeof(used)); //刚开始所有的点都在集合之外 while(N--) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; edge[u][v] = edge[v][u] = w; } int ans = prim(1, M); //从 1 这个点开始找 一共有M个点 if(ans < 0) cout << "?" <<endl; else cout << ans << endl; } return 0; }
堆优化:假设 Vb 为MST的点集合, Va为不属于MST的点集和, Vb初始化仅有起点 s, Va 为其余所有点, 上面算法是用一个数组 lowcost 来维护 Va 中的点到 Vb 中的点的最短距离,但是每次更新时需要遍历所有点集,这是一步很耗时的操作,在这里可以用堆来对其进行优化.使用堆(Binary Heap)来保存 Va 中每一点到 Vb 中所有点的最短边长并维护其最小值,并在访问每条边的时候更新.由于堆比较复杂,STL油提供了现成的堆(priority_queue)
代码( 优先队列(堆) + Prim, 时间复杂度O( (N + M) * logN ) ):
1 const int MAXN = 10000; 2 const int MAXE = 100000; 3 const int INF = 0x3f3f3f3f; 4 int n, m; 5 bool visit[MAXN + 3]; 6 int lowcost[MAXN + 3]; 7 int pre[MAXN + 3]; 8 9 int head[MAXN + 3], len; 10 struct EDGE { int to; int next; int w; }; 11 EDGE edge[2 * MAXE + 3]; 12 13 void addedge(int u, int v, int w) { 14 edge[len].to = v; 15 edge[len].w = w; 16 edge[len].next = head[u]; 17 head[u] = len++; 18 } 19 20 struct NODE { //队列中的节点 21 int v; int w; //点 v 到 MST 集合中的距离为 w 22 NODE () {} 23 NODE (int u, int wh) {v = u, w = wh;} 24 bool operator < (const NODE& a) const { 25 if(w == a.w) return v > a.v; 26 return w > a.w; 27 } 28 NODE& operator = (const NODE & a) { 29 v = a.v, w = a.w; 30 return *this; 31 } 32 }; 33 34 int prim(int st) { 35 memset(visit, false, sizeof(visit)); 36 memset(pre, -1, sizeof(pre)); 37 for(int i = 0; i <= n; i++) lowcost[i] = INF; 38 lowcost[st] = 0, pre[st] = st; 39 priority_queue<NODE> minhp; 40 minhp.push( NODE(st, 0) ); //初始节点入队 41 int mst = 0, cnt = 0; 42 while( !minhp.empty() ) { 43 NODE tp = minhp.top(); minhp.pop(); //从队列首部取出最近的节点, 并删除 44 if(visit[tp.v]) continue; 45 visit[tp.v] = true; //标记已访问节点 46 mst += tp.w, cnt++;//记录MST权值以及MST集合中的点的个数 47 for(int k = head[tp.v], j; k != -1; k = edge[k].next) { 48 if(!visit[j = edge[k].to] && edge[k].w < lowcost[j]) {//更新最短边长度 49 pre[j] = tp.v; 50 lowcost[j] = edge[k].w; 51 minhp.push( NODE(j, lowcost[j]) ); 52 } 53 } 54 } 55 return cnt == n ? mst : -1; 56 }