逆元

一：什么是逆元？

　　若对于数a，存在某数x，使得a*x≡1(mod p)，我们就称x是a模p意义下的逆元，记为a^-1。当且仅当gcd（a，p）=1的时候a在模p意义下有逆元，在“如何求逆元？”方法一种有证明。

二：逆元有什么作用？

　　如果我们要求a+b mod p与a*b mod p的值，很简单，只需要分别求a mod p、b mod p然后再分别相加相乘就好了。但是如果我们要求 a/b 的逆元又如何呢？，我们不能分别对模p再对b模p再相除，这时候就要用到逆元了。我们有：
　　　　　　　　$frac{a}{b}equivfrac{a}{b} imes b imes b^{-1}=a imes b^{-1} (mod p)$

三：如何求逆元？

　　方法一：

　　　　　　我们有a*a^-1≡1 （mod p），这等价于a*a^-1=kp+1，显而易见，这个不定方程有解的充分必要条件是gcd（a，p）=1，我们可以用扩展欧几里得算法来解。详细方法请点这里。

　　方法二：

　　　　　　如果我们要求1~n所有的数对数p（p与1~n的数互质）的逆元，那么我们显然不可能一个一个去求，我们需要高效的方法，那就是非常优秀的！线性求逆元，可以在O（n）时间内求出1~n的所有逆元，设inv[i]表示i模p意义下的的逆元（p为质数），那么有：
　　　　　　　　$inv[i]=(p-[frac{p}{i}]) imes inv[p\%i]\% p$

证明：

设p=i*k+r，于是有：

　　　　　　　　$i imes p+kequiv 0 (mod p)$

两边同时乘上i^-1*r^-1于是得到：

　　　　　　　　$r^{-1} imes k+i^{-1}equiv 0 (mod p)$

再由式子r=p%i,k=p/i带入,移项就得到：

　　　　　　　　$i^{-1}equiv -[frac{p}{i}] imes inv[p\% i] (mod p)$

也就是：

　　　　　　　　$inv[i]=[p-frac{p}{i}] imes inv[p\%i]\% p$

得证~。

　　方法三：

　　　　　　若p是质数的话，我们可以用费马定理求逆元。由费马定理得：
　　　　　　　　$a^{p}equiv a (mod p)$

得到：

　　　　　　　　$a^{p-2} imes aequiv 1 (mod p)$

这时候由逆元的定义就可以得到a^p-2此时就是a在模p意义下的逆元，可以用快速幂快速求出。

　　方法四：

　　　　　　特别的，对于求1!~n!的所有逆元，我们可以先求出n！的逆元（可以方法一或者方法三求出），因为我们有：

　　　　　　　　$n! imes (n+1)=(n+1)!$

两边同时乘上(n+1)!^-1得到：

　　　　　　　　$n! imes (n+1) imes (n+1)!^{-1}equiv 1 (mod p)$

由逆元的定义可以得到(n+1)*(n+1)!^-1就是n!的逆元啦！于是我们可以从后往前递推出逆元。