[POJ3764] The XOR Longest Path 题解

题目大意：

给你一颗n个节点的边带权的树，从树上求两点，使得这两点的简单路径的边异或和最大。

数据输入：

多组数据，每组数据的开始是N（N<=100000），接下来N-1行每行包括3个整数u，v，w（0<=u，v<=n-1,0<=w<=2³¹），表示从u到v有一条长w的路径。

题解：

　　我们可以任意取一个根节点，做一遍dfs求出任意节点到根节点的路径的异或和，用数组d来表示。那么对于任意两个节点i与j，它们之间路径的异或和就是d[i]^d[j]，这是因为由于异或的特性，它们之间的公共路径已经被异或掉了。

　　于是问题就转变成了，求两点的最大异或和，我们注意到题面中给的数据范围（w<=2³¹）,这提示我们把每一个点的d值拆成一串长31的01串，并把没一个节点对应的d值插入trie树种，因为要求最大，我们从高位往低位插入，当我们扫到一个点$A_{i}$的值的时候，我们基于贪心的思想尽量往与$A_{i}$当前这一位相反的方向走，只有当trie树中没有这相反的一位时，我们才走相同的一位。

　　因为求d数组和插入，查询都是O（n）的，所以总时间复杂度是O（n）。

代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;

ll edge[2*N],d[N],ans;
int ver[2*N],nxt[2*N],head[N];
int trie[31*N][2];
int n,tot=1,cnt;

void add(int x,int y,ll z){ver[++cnt]=y,edge[cnt]=z,nxt[cnt]=head[x],head[x]=cnt;}

void dfs(int x,int fa){
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=ver[i];
        if(y==fa) continue;
        d[y]=d[x]^edge[i];
        dfs(y,x);
    }
}

void insert(int x){
    ll k=d[x];
    int p=1;
    for(int i=30;i>=0;--i){
        int ch=(k>>i)&1;//从高位往低位插入
        if(!trie[p][ch]) trie[p][ch]=++tot;
        p=trie[p][ch];
    }
}

ll search(int x){
    ll k=d[x],sum=0;
    int p=1;
    for(int i=30;i>=0;--i){
        int ch=(k>>i)&1;
        if(trie[p][!ch]){//如果相反的一位存在
            sum+=pow((double)2,i);
            p=trie[p][!ch];
        }else p=trie[p][ch];//不存在
    }
    return sum;
}

int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(trie,0,sizeof(trie));
        memset(head,0,sizeof(head));
        ans=0,cnt=0,tot=1;
        for(int i=1,u,v;i<n;++i){
            ll w;
            scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
            add(u,v,w),add(v,u,w);
        }
        dfs(0,-1);//求d数组
        for(int i=0;i<n;++i) insert(i);
        for(int i=0;i<n;++i) ans=max(ans,search(i));
        printf("%lld
",ans);
    };
    return 0;
}