题目描述
花匠栋栋种了一排花，每株花都有自己的高度。花儿越长越大，也越来越挤。栋栋决定把这排中的一部分花移走，将剩下的留在原地，使得剩下的花能有空间长大，同时，栋栋希望剩下的花排列得比较别致。
具体而言，栋栋的花的高度可以看成一列整数ℎ1, ℎ2, … , ℎn。设当一部分花被移走后，剩下的花的高度依次为g1, g2, … , gm，则栋栋希望下面两个条件中至少有一个满足：
条件 A：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g2i > g2i−1，且g2i > g2i+1；
条件 B：对于所有的1 ≤ i ≤ m/2，g2i < g2i−1，且g2i < g2i+1。
注意上面两个条件在m = 1时同时满足，当m > 1时最多有一个能满足。
请问，栋栋最多能将多少株花留在原地。
输入
输入的第一行包含一个整数 ，表示开始时花的株数。
第二行包含 个整数，依次为ℎ1, ℎ2,… , ℎn，表示每株花的高度。
第二行包含 个整数，依次为ℎ1, ℎ2,… , ℎn，表示每株花的高度。
输出
输出一行，包含一个整数m，表示最多能留在原地的花的株数样例
FlowerNOIP2013.in
5
5 3 2 1 2
FlowerNOIP2013.out
3
数据范围
对于 20%的数据，n ≤ 10；
对于 30%的数据，n ≤ 25；
对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ h_i ≤ 1000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤1,000,000，所有的h_i随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。
对于 30%的数据，n ≤ 25；
对于 70%的数据，n ≤ 1000，0 ≤ h_i ≤ 1000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤1,000,000，所有的h_i随机生成，所有随机数服从某区间内的均匀分布。
个人分析
明显的最优子结构性质，可以用动规来做。应该注意到存在30%的变态数据(1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤ h_i ≤1,000,000)，因此想拿满分应当找到线性的算法（这种提示也可以？…………）。A、B两种情况不仅不会增加复杂性，反而消除了对n奇偶性的讨论。两种情况可以简化为一种锯齿状的数列，只需讨论i前保留的花高度与花i的高度h[i]的关系即可。
第i朵花的高度为h[i]（1 <= i <= n)，前i朵花“尾部为升序”的最长序列长度为S1[i]，“尾部为降序”的最长序列长度为S2[i]。
则有状态转移方程:
1. (h[i] > h[i-1])：S1[i] = max(S1[i-1], S2[i-1] + 1)；S2[i] = S2[i-1]；
2. (h[i] == h[i-1])：S1[i] = S1[i-1]；S2[i] = S2[i-1]；
3. (h[i] < h[i-1])：S1[i] = S1[i-1]；S2[i] = max(S2[i-1], S1[i-1] + 1)；
由此可以写出复杂度为O(n)的动态规划代码：
1 //＜NOIP2013＞ 花匠
2 #include <cstdio>
3 using namespace std;
4 int maxm(int a, int b)
5 {
6 if(a >= b )return a ;
7 else return b;
8 }
9 const int maxn = 1000005;
10 int h[maxn] = {0}; //
11 int n;
12 int S1[maxn], S2[maxn] ;
13 //(1尾部为升序,2尾部为降序)
14 int main(void)
15 {
16 FILE *in = fopen ("FlowerNOIP2013.in","r");
17 FILE *out = fopen ("FlowerNOIP2013.out" ,"w");
18 fscanf(in, "%d", &n);
19 int i;
20 for(i = 1; i <= n; i++)
21 fscanf(in, "%d", &h[i]);
22 S1[1] = S2[1] = 1; //初始状态
23
24 for(int i = 2;i <= n; i++)
25 {
26 if(h[i] > h[i-1]) // case1
27 {
28 S1[i] = maxm(S1[i-1], S2[i-1]+1 );
29 S2[i] = S2[i-1];
30 }
31 else if (h[i] == h[i-1])// case2
32 {
33 S1[i] = S1[i-1];
34 S2[i] = S2[i-1];
35 }
36 else //case 3
37 {
38 S1[i] = S1[i-1];
39 S2[i] = maxm(S1[i-1]+1, S2[i-1] );
40 }
41 }
42
43 fprintf(out, "%d", maxm(S1[n], S2[n]) );
44 return 0;
45 }
2 #include <cstdio>
3 using namespace std;
4 int maxm(int a, int b)
5 {
6 if(a >= b )return a ;
7 else return b;
8 }
9 const int maxn = 1000005;
10 int h[maxn] = {0}; //
11 int n;
12 int S1[maxn], S2[maxn] ;
13 //(1尾部为升序,2尾部为降序)
14 int main(void)
15 {
16 FILE *in = fopen ("FlowerNOIP2013.in","r");
17 FILE *out = fopen ("FlowerNOIP2013.out" ,"w");
18 fscanf(in, "%d", &n);
19 int i;
20 for(i = 1; i <= n; i++)
21 fscanf(in, "%d", &h[i]);
22 S1[1] = S2[1] = 1; //初始状态
23
24 for(int i = 2;i <= n; i++)
25 {
26 if(h[i] > h[i-1]) // case1
27 {
28 S1[i] = maxm(S1[i-1], S2[i-1]+1 );
29 S2[i] = S2[i-1];
30 }
31 else if (h[i] == h[i-1])// case2
32 {
33 S1[i] = S1[i-1];
34 S2[i] = S2[i-1];
35 }
36 else //case 3
37 {
38 S1[i] = S1[i-1];
39 S2[i] = maxm(S1[i-1]+1, S2[i-1] );
40 }
41 }
42
43 fprintf(out, "%d", maxm(S1[n], S2[n]) );
44 return 0;
45 }