杜教筛刷题总结

写在前面：

其实只有一道题

2020.01.01update:博客锅了非常抱歉，感谢sbskyh&tdcp指出

DZY Loves Math IV

$n$很小可以考虑枚举$1$到$n$
对于一个枚举出来的$n$

考虑把$n$拆为$x*y$

其中$x$为$n$的每个质因子的1次方的乘积，$y=frac{n}{x}$
$S(n,m)=sumlimits_{i=1}^{m}varphi{(n*i)}$

$S(n,m)=y*sumlimits_{i=1}^{m}varphi{(frac{x}{(x,i)})}*varphi{(i)}*(x,i)$

$S(n,m)=y*sumlimits_{i=1}^{m}varphi{(frac{x}{(x,i)})}*varphi{(i)}sumlimits_{j|(x,i)}varphi{(j)}$

$S(n,m)=y*sumlimits_{i=1}^{m}varphi{(i)}sumlimits_{j|(x,i)}varphi{(frac{x}{j})}$

$S(n,m)=y*sumlimits_{j|x}varphi{(frac{x}{j})}sumlimits_{i=1}^{lfloor frac{m}{j} floor}varphi{(i*j)}$

$S(n,m)=y*sumlimits_{j|x}varphi{(frac{x}{j})}*S(j,lfloor frac{m}{j} floor)$

递归解决即可

递归边界:
1>$n==1$杜教筛求$ans=sumlimits_{i=1}^{m}varphi{(i)}$
2>$m<=1 ans=m*varphi{(n)}$