一个很水但是很有用的结论：
\(C_m^n=C_m^{n-m}\)
当柿子不好联想组合意义时可以试一下转换
一个水结论但用处挺多：
\(kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\)
上面两个证明直接下降幂定义展开下就结了
范德蒙德卷积（考虑组合意义易得）
\(\sum_{i=0}^k C_n^i C_m^{k-i} = C_{m+n}^k\)
两个小推论：
\(\sum_{k=1}^n k(C_n^k)^2=nC_{2n-1}^{n-1}\)
\(\sum_{i=0}^{n}(C_n^i)^2=C_{2n}^{n-1}\)
都用一下第一个柿子，剩下比较显然。
a very nice blog:
组合数拆开与下降幂组合，再提出项并回去变成形式好的组合数。
具体题目：如何优雅的求和，组合数问题
两个求对点值求下降幂的方式：
\(f(x)=\sum a_ix^i,f(x)=b_ix^{\underline{i}}\)
1.用k阶差分的第一项。
设\(\frac{b_i}{i!}=c_i\)
\(f(x)=\sum c_i \frac{x^{\underline{i}}}{i!}=\sum c_i C^x_i\)
差分可得：
\(\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=\sum c_i C^x_{i-1}\)
可以看出，当组合数等于1的时候，也就是k阶差分的第一项，就是答案。
对于k阶差分有个式子：
\(\Delta^kf(0)=\sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} C^k_i a_i\)
这个东西咋处理呢？拆开组合数，变成最经典的卷积式。
\(A(x)=\frac{(-1)^i}{i!}\) \(B(x)=\frac{a_i}{i!}\)
两个一卷就是\(c\)
2.利用\(e^x\)， 指数型生成函数
设出点值的指数型生成函数：
\(\sum \frac{f(i)}{i!}x^i=\sum \frac{x^i}{i!} \sum f_jx^{\underline{j}}\)
\(=\sum f_i \sum \frac{x^j}{(j-i)}=\sum f_i x^i \sum \frac{x^j}{j!}\)
后面的柿子变成了\(e^x\)，卷积即可。