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Quiz 1 - 1.14
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在一块厚奶酪上划出五道径直的切痕，可以得到多少块奶酪？对 (P_n) 求一个递归关系，这里 (P_n) 表示 (n) 个不同平面所能定义的三维区域的最大个数。
可以发现一个神奇的结论，一个平面加入时，这个平面被已加入的其他平面切成几个二维区域数就是新增的三维区域数。
设 (L_n) 为一个平面被 (n) 条直线切成的最大二维区域数，这是一个经典问题，设 (S_n = sum_{i=1}^n i) ，答案为 (L_n = 1 + S_n) 。
那么 (P_n = P_{n-1} + L_{n-1}) 。
不妨拓展到全体维数上。
首先设 (X_n) 为一个一维直线上被切 (n) 下的最大一维区域数，但是若设 (epsilon) 表示零维区域，则 (X_n = X_{n-1} + epsilon) 。
又来了一个关系式 (L_n = L_{n-1} + X_{n-1}) 。
经上述推导，我们得到了一个结论：
设 (mathcal{F}_k(n)) 表示一个 (k) 维空间被 (k-1) 维的物品切了 (n) 下的最大 (k) 维区域数，有：
[mathcal{F}_k(n) = mathcal{F}_{k}(n-1) + mathcal{F}_{k-1}(n-1)
]
Richard P. Stanley 的论文说这是一个 Hyperplane Arrangements (超平面分割) 的问题，并且提出了：
[mathcal{F}_k(n) = sum_{i=0}^k {n choose i}
]
不妨用归纳法证明：
- (k = 0) 时，结论显然成立。
- (k > 0) 时，注意到有：
[egin{aligned}
mathcal{F}_k(n) = & sum_{i=0}^{n-1}mathcal{F}_{k-1}(i)\
=& {nchoose 0} + sum_{j=0}^{k-1}sum_{i=0}^{n-1} {ichoose j} \
=& {nchoose 0} + sum_{j=0}^{k-1}{nchoose j+1}\
=& sum_{i=0}^k {n choose i} &square
end{aligned}]
还会更的。。。（雾