[AH2017/HNOI2017]影魔 题解

[AH2017/HNOI2017]影魔 题解

题意

(~~~~) 给出长为 (n) 的排列 ({k}) ，共 (m) 次给出 ([a,b]) ，求：

[sum_{i=a}^bsum_{j=i+1}^b [k_i>k_s land k_j>k_s] imes p_1 +[k_i<k_s<k_j lor k_i>k_s>s_j] imes p_2 （k_s=max_{l=i+1}^{j-1} {k_l}） ]

题解

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(~~~~) 考虑处理出每个位置 (i) 左边第一个比它大的数的位置 (L_i) 和右边第一个比它大的数的位置 (R_i) 。则考虑某个位置上的数作为中间最大值（即题意中 (k_s)） 时可以使得哪些区间产生贡献。

(~~~~) 对于 (p_1) 类的贡献，则此时仅有区间 ([L_i,R_i]) 会以 (i) 作为 (S) 产生 (p_1) 贡献。当区间继续扩大时最大值不是 (k_i) ，当区间缩小时无法满足 (k_l>k_s) ，故仅有该区间满足条件。

(~~~~) 对于 (p_2) 类的贡献，则所有满足 (lin[L_i+1,i-1],r=R_i) 或 (l=L_i,rin[i+1,R]) 的区间 ([l,r]) 均会产生 (p_2) 的贡献，区间不漏的原因同上。

(~~~~) 因此，现在从左往右扫一遍 (n) ，对于 (p_1) 类的贡献，当扫到一个 (R_i) 时，将其对应的 (L_i) 贡献加上 (p_1) ，并将 ([L_i+1,i-1]) 的贡献加上 (p_2) ，扫到一个 (L_i) 时，将 ([i+1,R_i]) 的贡献加上 (p_2) 。并将所有询问拆成两个，在 (l-1) 处时得到 ([l,r]) 的总贡献为 (sum_1) ，在 (r) 处时再得到 ([l,r]) 的总贡献为 (sum_2) ，则显然区间 ([l,r]) 本身的答案为 (sum_2-sum_1) 。

代码

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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m,p1,p2;
int sta[200005],top,arr[200005];
int L[200005],R[200005];
int ls[200005],rs[200005];
ll Ans[200005];
struct node{
	int id,l,r;
	node(){}
	node(int Id,int L,int R){id=Id,l=L,r=R;}
};
struct Range{
	int l,r,val;
	Range(){}
	Range(int L,int R,int Val){l=L,r=R,val=Val;}
};
vector <Range> op[200005];
vector <node> Post[200005],Nega[200005];
void dfs(int u)
{
	if(ls[u])
	{
		L[ls[u]]=L[u];
		R[ls[u]]=u-1;
		dfs(ls[u]);
	}
	if(rs[u])
	{
		L[rs[u]]=u+1;
		R[rs[u]]=R[u];
		dfs(rs[u]);
	}
}
void Pre()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k=top;
		while(k&&arr[sta[k]]<arr[i]) k--;
		if(k) rs[sta[k]]=i;
		if(k<top) ls[i]=sta[k+1];
		sta[++k]=i;top=k;
	}
	L[sta[1]]=1,R[sta[1]]=n;
	dfs(sta[1]);
}
struct SegmentTree{
	#define ls p<<1
	#define rs p<<1|1
	#define lson p<<1,l,mid
	#define rson p<<1|1,mid+1,r
	ll tr[800005],tag[800005];
	void pushUp(int p){tr[p]=tr[ls]+tr[rs];}
	void pushDown(int p,int l,int r)
	{
		if(!tag[p]) return;
		int mid=(l+r)>>1;
		tr[ls]+=tag[p]*(mid-l+1);
		tr[rs]+=tag[p]*(r-mid);
		tag[ls]+=tag[p];tag[rs]+=tag[p];
		tag[p]=0;
		return;
	}
	void Modify(int p,int l,int r,int lx,int rx,int val)
	{
		if(rx<lx) return;
		if(lx<=l&&r<=rx)
		{
			tag[p]+=val;
			tr[p]+=1ll*(r-l+1)*val;
			return;
		}
		pushDown(p,l,r);
		int mid=(l+r)>>1;
		if(lx<=mid) Modify(lson,lx,rx,val);
		if(mid<rx)  Modify(rson,lx,rx,val);
		pushUp(p);
	}
	ll Query(int p,int l,int r,int lx,int rx)
	{
		if(rx<lx) return 0;
		if(lx<=l&&r<=rx) return tr[p];
		int mid=(l+r)>>1;ll ret=0;
		pushDown(p,l,r);
		if(lx<=mid) ret+=Query(lson,lx,rx);
		if(mid<rx)  ret+=Query(rson,lx,rx);
		return ret;
	}
}Seg;
template<typename T>void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    x*=f;
}
int main() {
	read(n);read(m);read(p1);read(p2);
	arr[0]=arr[n+1]=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(arr[i]);
	Pre();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		L[i]--,R[i]++;
		if(1<=L[i]&&R[i]<=n)  op[R[i]].push_back(Range(L[i],L[i],p1));
		if(L[i]+1<i&&R[i]<=n) op[R[i]].push_back(Range(L[i]+1,i-1,p2));
		if(1<=L[i]&&R[i]>i+1) op[L[i]].push_back(Range(i+1,R[i]-1,p2));
	}
	for(int i=1,l,r;i<=m;i++)
	{
		read(l);read(r);Ans[i]+=(r-l)*p1;
		Nega[l-1].push_back(node(i,l,r));
		Post[r].push_back(node(i,l,r));
	}
	for(int i=0;i<=n+1;i++)
	{
		for(int j=0;j<op[i].size();j++)
		{
			Range Op=op[i][j];
			Seg.Modify(1,0,n+1,Op.l,Op.r,Op.val);
		}
		for(int j=0;j<Nega[i].size();j++)
		{
			node Op=Nega[i][j];
			Ans[Op.id]-=Seg.Query(1,0,n+1,Op.l,Op.r);
		}
		for(int j=0;j<Post[i].size();j++)
		{
			node Op=Post[i][j];
			Ans[Op.id]+=Seg.Query(1,0,n+1,Op.l,Op.r);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld
",Ans[i]);
	return 0;
}
​```
</details>