【学习小记】Berlekamp-Massey算法

Preface

BM算法是用来求一个数列的最短线性递推式的。
形式化的，BM算法能够对于长度为n的有穷数列或者已知其满足线性递推的无穷数列(a)，找到最短的长度为m的有穷数列(c)，满足对于所有的(igeq n)，有$$a_i=sumlimits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j}$$

Text

BM算法的流程十分简洁明了——增量，构造，修正。

方便起见，我们令a的下标从0开始，c的下标从1开始

假设我们当前构造出来的递推系数C是第(cnt)版（经过cnt次修正）长度为(m)，能够满足前(a_0...a_{i-1})项，记做(_{cnt}C)，初始时(_{cnt}C)为空,m=0
记(d_i=a_i-sumlimits_{j=1}^{m}c_ja_{i-j})

若(d_i=0)，那么C符合的很好，不用管它

否则，我们需要进行一定的修正，(_{cnt}C)需要变换到(_{cnt+1}C)。

记(fail_{cnt})表示(_{cnt}C)在(a_i)处拟合失败。

若(cnt=0)，说明这是a的第一个非0元素，直接设(m=i+1),在(C)中填上i+1个0。显然这满足定义式（因为前m项是可以不满足递推式的）。

否则我们考虑如何构造，如果能找到一个(C')，满足对于(mleq jleq i-1)，都有(sumlimits_{k=1}^{m}c'_ka_{j-k}=0)，且(sumlimits_{k=1}^{m}c'_ka_{i-k}=1)

那么可以构造(_{cnt+1}C=_{cnt}C+d_iC')，显然这一定满足性质。其中加法为按项数对应加。

如何构造呢？我们可以利用之前的C！
找到某一个(kin[0..cnt-1])
我们构造设(w={d_iover d_{fail_k}})，构造(wC'={0,0,0,0,...,0,w,-w*{_{k}C}})

其中前面填上了(i-fail_k-1)个0，后面相当于是(_kC)乘上(-w)接在了后面。

为什么这是对的？其实很简单，对于(a_i)，带进去的算出来的东西相当于是$$wa_{fail_k}-w(a_{fail_k}-d_{fail_k})=wd_{fail_k}=d_i$$
而对于(mleq jleq i-1)，算出来的是正好是(w*a_{j-(i-fail_k)}-w*a_{j-(i-fail_k)}=0)，利用了(_kC)在1到(fail_k-1)都满足关系式，而在(fail_k)相差(d)的性质。

此时我们还希望总的长度最短，也就是说(max(m_{cnt},i-fail_k+m_{k}))最短。
我们只需要动态维护最短的(i-fail_k+m_{k})即可，每次算出(_{cnt+1})时都与之前的k比较一下谁更短即可，这样贪心可以感受出来是正确的。

最坏时间复杂度显然是(O(nm))的

Code

LL rc[4*N],rp[4*N],le,le1,rw[4*N];
void BM()
{
	le=le1=0;
	memset(rc,0,sizeof(rc));
	memset(rp,0,sizeof(rp));
	int lf=0;LL lv=0;
	fo(i,0,n1)
	{
		LL v=0;
		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);
		if(v==ap[i]) continue;
		if(le==0) 
		{
			le=i+1;
			fo(j,1,le) rc[j]=rp[j]=0;
			le1=0,lf=i,lv=(ap[i]-v)%mo;
			continue;
		}
		v=(ap[i]-v+mo)%mo;
		LL mul=v*ksm(lv,mo-2)%mo;
		
		fo(j,1,le) rw[j]=rc[j];
		
		inc(rc[i-lf],mul);
		fo(j,i-lf+1,i-lf+le1) inc(rc[j],(mo-mul*rp[j-(i-lf)]%mo)%mo);
		if(le<i-lf+le1)
		{
			swap(le1,le);
			le=i-lf+le,lf=i,lv=v;
			fo(j,1,le1) rp[j]=rw[j];
		}
		
		v=0;
		fo(j,1,le) inc(v,rc[j]*ap[i-j]%mo);
	}
}