【学习小记】支配树【图论】

Preface

给定一个有向图和一个起点(st)，我们需要知道起点到某个点的关于必经点的信息。
若起点到点v的所有路径均经过点u，则我们称点u支配点v，显然一个点支配自己本身

顾名思义，支配树就是由某些支配关系构成的树。

定义

约定一些记号
((u,v))，表示一条从u到v的有向边
(fa(u))，表示(u)在DFS树上的父亲。
(dfn(i))为从(st)开始DFS整个图，(i)号点的(dfs)时间戳。
(Path(u,v))，表示DFS树上(u)到(v)的路径上的点集
(Path(u,v)/u)表示路径上点集中除去点(u)剩余的集合

我们定义一个点(u)的最近支配点(idom(u))，它支配(u)，且它也被除u以外的所有支配u的点支配

性质

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显然(idom(u))唯一存在，且若我们重新建一个图，所有的(idom(u))与(u)连一条边，那么这个新图是一棵以(st)为根的树，也就是说(idom)不会成环（可以用反证法简单证明）。
这棵树就是我们说的支配树。

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(idom(u))一定是(u)在(dfs)树上的祖先。（一样可以反证法简单证明）

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问题就是要求出(idom)。

求解

为了求出(idom)，我们引入半必经点的概念。

半必经点

回归tarjan求强连通分量的算法，我们来观察DFS过程中会出现哪些边。

• 树边，DFS树上的父亲——儿子边。
• 后向边，祖先向后代连的非树边的边。
• 返祖边，DFS序大的后代向DFS序小的祖先连的边
• 横叉边，DFS序大的点向DFS序小的点连的边，且没有祖先后代关系。

容易证明不存在上面四种边以外的边。

记(semi(u))表示从(u)开始，沿着边反着走，能够中途不经过u的祖先，最后到达的深度最浅((dfn)最小)的(u)的祖先。

形式化的，(semi(u))是(u)的祖先，且存在原图中的一条路径(p_1...p_k)，(p_1=semi(u),p_k=u，forall_{i=2}^{k-1}dfn(p_i)>dfn(u))

可以发现这两种定义是等价的，因为不可能通过反向边走到DFS序更小的且不是祖先的点去。

我们考虑它可能怎么走，要么通过树边/后向边的反向边直接走到一个祖先，要么通过返祖边/横叉边的反向边走到某些(dfn)更大的点(pre_u)，然后在(Path(st,pre_u))上找一个(w)，满足(dfn(w)geq dfn(u))，所有的(semi(w))的最浅的那个就用来更新(semi(u))。

可以发现最浅的(semi(w))一定是(u)的祖先，因此我们不必担心不合法的问题。

那么我们就得到了(semi)的求法，按照DFS序倒序枚举所有点(u)，按照上面的做法来不断更新，查询祖先可以用带权并查集来做，求出一个点的(semi)之后将它的所有树边儿子与它合并即可。

问题在于求(idom)
我们考虑(vin Path(semi(u),u)/semi(u))，找到(semi(v))最浅的一个。

有定理：若(semi(v)=semi(u))，则(idom(u)=semi(u))，否则(idom(u)=idom(v))
这个定理请自行理解...我也不会证

有了这个定理之后我们可以将(u)挂在(semi(u))上，扫到(semi(u))的时候就找到(u)相应的(v)，若(semi(u)=semi(v))就直接(idom(u)=semi(u))，否则因为此时(idom(v))还没有求出来，我们可以先将(idom(u))指向(v)，最后全部都做完以后按照DFS序正序扫一遍将这部分的(idom(u))改成(idom(idom(u)))即可。

时间复杂度(O(nlog n))（因为不能按秩合并）

Code

洛谷P5180，支配树模板题。

#include <bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define N 200005
#define M 300005
using namespace std;
vector<int> pre[N];
int fs[N],nt[M],dt[M],pr[M],n,m,m1;

int semi[N],idom[N],ft[N],fp[N],dfn[N],dfw[N],fa[N];
vector<int> ids[N];
int gmin(int x,int y) 
{
	return (!y||(dfn[x]<dfn[y]&&x))?x:y;
}
void link(int x,int y)
{
	nt[++m1]=fs[x];
	dt[fs[x]=m1]=y;
}
void dfs(int k)
{
	dfw[dfn[k]=++dfn[0]]=k;
	for(int i=fs[k];i;i=nt[i])
	{
		int p=dt[i];
		if(!dfn[p]) fa[p]=k,dfs(p);
		if(dfn[k]<dfn[p]) semi[p]=gmin(semi[p],k);
		else pre[p].push_back(k);
	}
}
int getf(int k)
{
	if(!ft[k]||ft[k]==k) return k;
	int p=getf(ft[k]);
	fp[k]=(dfn[semi[fp[k]]]<dfn[semi[fp[ft[k]]]])?fp[k]:fp[ft[k]];
	return ft[k]=p;
}
int fd(int k)
{
	getf(k);return fp[k];
}
void merge(int x,int y)
{
	int fx=getf(x),fy=getf(y);
	ft[fy]=fx,fp[fy]=(dfn[semi[fp[fy]]]<dfn[semi[fp[fx]]])?fp[fy]:fp[fx];
}
void make()
{
	fod(i,n,1)
	{
		int k=dfw[i];
		if(i>1)
		{
			for(int u:pre[k])
			{	
				int v=fd(u);
				semi[k]=gmin(semi[k],semi[v]);
			}
			ids[semi[k]].push_back(k);	
		}
		for(int u:ids[k])
		{
			int v=fd(u);
			idom[u]=(semi[v]==k)?k:v; 
		}
		fp[k]=k;
		for(int i=fs[k];i;i=nt[i]) if(fa[dt[i]]==k) merge(k,dt[i]);
	}
	for(int i=2,k=dfw[2];i<=n;++i,k=dfw[i]) if(idom[k]!=semi[k]) idom[k]=idom[idom[k]];
}
int sz[N];
int main()
{
	cin>>n>>m;
	fo(i,1,m)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		link(x,y),pre[y].push_back(x);
	}
	dfs(1);
	make();
	fod(i,n,1)
	{
		sz[dfw[i]]++;
		sz[idom[dfw[i]]]+=sz[dfw[i]];	
	}
	fo(i,1,n) printf("%d ",sz[i]);
}