计算素数的算法（一）

经常有初学者询问求解N内所有素数（质数）的问题，对此，网上的解答也很多，但很多要么不够专业，要么只有程序没有算法解析，所以三藏大厦对此问题做个小结，探讨一下求解素数的常见算法，同时给出相应的C语言程序及其解析。为了方便初学者理解，本文将从易到难阐述不同算法，高手可以直接看后面的高效算法
质数的定义
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。 

试除判断法
算法描述：从上述定义可知，素数不能被1和它本身之外的数整除，所以，判断一个数x是否素数只要看它是否能被2~sqrt(x)间的数整除即可；而求N内所有素数则是循环重复上述过程。
C语言实现：

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代码:

#include <time.h>
#include <malloc.h>
#define N 100000
// 简单试除判断法 Ver1
int s i m p l eDivisionV1(int n)
{
int i,j;
// 素数数量统计 
int count = 0;
// 分配存放结果的空间 
int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n );

// 2是素数谁都知道，不算了 
primes[count++] = 2;
// 循环计算3~n间的数 
for (i=3; i<=n; i++)
{
  // 为什么是sqrt(i)，思考一下 
  for (j=2; j<=sqrt(i); j++)
  {
   // i被j整除，显然不是素数了 
   if (i%j == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)间的数整除,素数也 
  if (j > sqrt(i))
  {
   primes[count++] = i;
  }
}

// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
  
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 
free(primes);

return count;
}

void main()
{
int count;
clock_t start, end;
// time函数不够精确，用clock凑合一下吧 
start = clock();
count = s i m p l eDivisionV1(N);

end = clock();
printf("[%d]以内素数个数：%d, 计算用时：%d毫秒 ", N, count, end-start);
getch();
}

计算结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：468毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：10859毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：103560毫秒
噢噢，算算十万还行，百万就10秒多了，而且时间增长很快，这不行，得优化一下！
优化分析：
仔细研究一下s i m p l eDivisionV1我们可以发现以下几个问题：

1.     在循环条件中重复调用sqrt(i)显然是比较浪费时间的

2.     判断素数，真的需要拿2~sqrt(i)间的所有整数去除吗？我们知道，合数都可以分解成若干质数，所以只要2~sqrt(i)间的质数不能整除i即可

根据上面两点，我们可将s i m p l eDivisionV1升级为s i m p l eDivisionV2，如下

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代码:

// 简单试除判断法 Ver2
int s i m p l eDivisionV2(int n)
{
int i, j, k, stop;
// 素数数量统计 
int count = 0;
// 分配存放结果的空间 
int* primes = (int*)malloc( sizeof(int)*n );

// 2是素数谁都知道，不算了 
primes[count++] = 2;
stop = count;
// 循环计算3~n间的数 
for (i=3; i<=n; i++)
{
  k = sqrt(i);
  // 在循环条件中重复调用sqrt是低效做法，故引入k
  while (primes[stop] <= k && stop < count)
   stop++;
  // stop干什么用，思考一下
  for (j=0; j<stop; j++)
  {
   if (i%primes[j] == 0) break;
  }
  // i不能被2~sqrt(i)间的素数整除，自然也不能被其他数整除,素数也 
  if (j == stop)
  {
   primes[count++] = i;
  }
}

// 因输出费时，且和算法核心相关不大，故略
  
// 释放内存，别忘了传说中的内存泄漏 
free(primes);

return count;
}

然后将main中调用的函数替换为s i m p l eDivisionV2，在看一下执行结果：
[100000]以内素数个数：9592, 计算用时：46毫秒
[1000000]以内素数个数：78498, 计算用时：546毫秒
[5000000]以内素数个数：348513, 计算用时：3515毫秒
[10000000]以内素数个数：664579, 计算用时：8000毫秒
很开心的看到，经过优化，速度提高了几十倍，尤其是时间增长曲线的坡度变小了，N值越大，V2函数比V1的效率就越高
对于试除判断这种质数算法来说，三藏认为s i m p l eDivisionV2基本已经接近极限，不大可能有量级上的突破了，有兴趣的朋友可以自己进一步优化。初学者除了参看上述例子外，可以尝试做各种修改及细节优化，也可以将除法变乘法，多加练习是学习编程的好方法。
虽然，上例中V2已经比V1快了很多了，但随着N的增大，耗时还是不少，那么我们还有更好的方法吗？