洛谷题目链接:[CQOI2011]放棋子
题目描述
在一个m行n列的棋盘里放一些彩色的棋子，使得每个格子最多放一个棋子，且不同
颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少祌方法？例如，n=m=3,有两个白棋子和一
个灰棋子，下面左边两祌方法都是合法的，但右边两祌都是非法的。
输入输出格式
输入格式：
输入第一行为两个整数n, m, c，即行数、列数和棋子的颜色数。第二行包含c个正整数，即每个颜色的棋子数。所有颜色的棋子总数保证不超过nm。
输出格式：
输出仅一行，即方案总数除以 1,000,000,009的余数。
输入输出样例
输入样例#1：
4 2 2
3 1
输出样例#1：
8
说明
N,M<=30 C<=10 总棋子数<=250
题解: 一道(DP)的好题.
定义状态(f[i][j][k])表示用前(k)种颜色占领了任意(i)行(j)列.
设(a[k])表示第(k)种颜色的棋子的个数.
转移很显然是$$f[i][j][k]=sum_{l=0}{i-1}sum_{r=0}{j-1}f[l][r][k-1]C_{n-l}{i-l}*C_{m-r}{j-r}用a[k]个棋子占领任意i-l行j-r列的方案数$$
那么我们再定义状态(g[i][j][k])表示用(k)个相同颜色的棋子占领任意(i)行(j)列的方案数,直接算不太好算,我们可以考虑容斥:$$g[i][j][k]=C_{ij}k-sum_{l=0}{i}sum_{r=0}{j}g[l][r][k]*C_{i}{l}C_{j}^{r},(l ot= i || r ot= j)$$
预处理了(g)数组,就可以对(f)数组转移了:$$f[i][j][k]=sum_{l=0}{i-1}sum_{r=0}{j-1}f[l][r][k-1]C_{n-l}{i-l}*C_{m-r}{j-r}g[i-l][j-r][a[k]]$$
因为不一定要放满整个棋盘,所以$$ans=sum_{l=1}nsum_{r=1}mf[i][j][c]$$
其实还可以用滚动数组滚掉(g)数组的最后一维.
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 30+5;
const int COL = 10+5;
const int K = 250+5;
const int mod = 1e9+9;
int n, m, C, a[N], c[1000][1000], ans = 0;
int f[N][N][COL], g[N][N][1000];
// f : k types of col occupied any i lines, j rows
// g : same type k chess piece occupied any i lines, j rows
int main(){
cin >> n >> m >> C;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
f[0][0][0] = c[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= 900; i++){
c[i][0] = 1;
for(int j = 1; j <= i; j++) c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}
for(int k = 1; k <= C; k++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++){
if(a[k] > i*j) continue; int res = 0;
g[i][j][a[k]] = c[i*j][a[k]];
for(int l = 1; l <= i; l++)
for(int r = 1; r <= j; r++)
if(l < i || r < j) (res += 1ll*c[i][l]*c[j][r]%mod*g[l][r][a[k]]%mod) %= mod;
g[i][j][a[k]] = (g[i][j][a[k]]-res+mod)%mod;
}
for(int k = 1; k <= C; k++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
for(int l = 0; l < i; l++)
for(int r = 0; r < j; r++)
(f[i][j][k] += 1ll*c[n-l][i-l]*c[m-r][j-r]%mod*g[i-l][j-r][a[k]]%mod*f[l][r][k-1]%mod) %= mod;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++) (ans += f[i][j][C]) %= mod;
cout << ans << endl;
return 0;
}