魔术球问题（网络流24题）

洛谷链接：魔术球问题

做这题之前推荐先去做一下：最小路径覆盖

问题描述：

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。

编程任务：

对于给定的n，计算在n根柱子上最多能放多少个球。

输入输出格式
输入格式：

第1 行有1个正整数n，表示柱子数。

输出格式：

程序运行结束时，将n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的n行，每行是一根柱子上的球的编号。

输入输出样例
输入样例#1：
4
输出样例#1：
11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11
说明
4<=n<=55

题意应该很好懂：给出n根柱子，在柱子上放球的条件是柱子为空或者上一个放在这根柱子上的球的编号与这个球的编号相加是完全平方数。 最多能放多少球我们并不知道，但是有这样一个贪心策略是肯定没问题的：如果能放在一颗球上面结果一定不会比另外用一根柱子重新放这颗球得到的结果要差。

所以我们考虑一个球一个球的往上加球。然后在建边的时候可以考虑拆点来统计答案。

• 将一个点A拆成两个点Ax来连边Ay，Ax连源点，将Ay连向汇点，流量都是1。
• 连完A点后,枚举判断是否后面可以再有球接到后面使答案增加.如果没有,则意味着这根柱子已经不会在有球可以放在上面了或者是这个球新占用了一根柱子(想一想为什么).
• 如果使答案增加了,则记录下答案.

然后需要注意的就是拆点的时候注意一下编号不要和其他点重叠,记录放球方案的时候可以直接在最大流增广的时候记录.

#include<bits/stdc++.h>
#define ll(x) ((x)<<1)
#define rr(x) ((x)<<1|1)
using namespace std;
const int inf=2147483647;
const int N=100000+5;

int n, s, t;
int cnt = 1;
int now = 0;
int ball = 0;
bool vis[N];
int last[N], head[N];
int nex[N], lev[N];
int st[N];

struct edge{
    int to, next, cap;
}e[1000000+5];

void add(int x,int y,int z){
    e[++cnt].to = y;
    e[cnt].cap = z;
    e[cnt].next = last[x];
    last[x] = cnt;
}

bool bfs(){
    queue <int> q;
    memset(lev,-1,sizeof(lev));
    lev[s] = 0; q.push(s);
    while(!q.empty()){
    int x = q.front(); q.pop();
    for(int i=last[x];i;i=e[i].next){
        int to = e[i].to;
        if(lev[to] == -1 && e[i].cap)
        lev[to] = lev[x]+1 , q.push(to);
    }
    }
    return lev[t] != -1;
}

int dfs(int x,int flow){
    if(x == t) return flow;
    int rest = 0;
    for(int i=last[x];i;i=e[i].next){
    int to = e[i].to;
    if(lev[to] == lev[x]+1 && e[i].cap){
        int f = dfs(to,min(flow-rest,e[i].cap));
        if(f){
        rest += f;
        e[i].cap -= f;
        e[i^1].cap += f;
        nex[x>>1] = to>>1;
        }
    }
    }
    return rest;
}

int maxflow(){
    int res = 0;
    while(bfs()) res += dfs(s,inf);
    return res;
}

int main(){
    cin >> n; int temp = 0;
    s = 0; t = 100000;
    while(temp <= n){
    ball++;
    add(s,ll(ball),1); add(ll(ball),s,0);
    add(rr(ball),t,1); add(t,rr(ball),0);
    for(int i=sqrt(ball)+1;i*i<ball*2;i++)
        add(ll(i*i-ball),rr(ball),1) , add(rr(ball),ll(i*i-ball),0);
    if(!maxflow()) head[++temp] = ball;
    }
    printf("%d
",--ball);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    if(vis[head[i]]) continue;
    int x = head[i]; vis[x] = 1;
    while(x){
        if(x != 50000) printf("%d ",x);
        vis[x] = 1; x = nex[x];
    }
    printf("
");
    }
    return 0;
}