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  • [洛谷P2730] 魔板 Magic Squares

    洛谷题目链接:魔板

    题目背景

    在成功地发明了魔方之后,鲁比克先生发明了它的二维版本,称作魔板。这是一张有8个大小相同的格子的魔板:

    1 2 3 4

    8 7 6 5

    题目描述

    我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。这8种颜色用前8个正整数来表示。可以用颜色的序列来表示一种魔板状态,规定从魔板的左上角开始,沿顺时针方向依次取出整数,构成一个颜色序列。对于上图的魔板状态,我们用序列(1,2,3,4,5,6,7,8)来表示。这是基本状态。

    这里提供三种基本操作,分别用大写字母“A”,“B”,“C”来表示(可以通过这些操作改变魔板的状态):

    “A”:交换上下两行;

    “B”:将最右边的一列插入最左边;

    “C”:魔板中央四格作顺时针旋转。

    下面是对基本状态进行操作的示范:

    A: 8 7 6 5

    1 2 3 4

    B: 4 1 2 3

    5 8 7 6

    C: 1 7 2 4

    8 6 3 5

    对于每种可能的状态,这三种基本操作都可以使用。

    你要编程计算用最少的基本操作完成基本状态到目标状态的转换,输出基本操作序列。

    输入输出格式

    输入格式:

    只有一行,包括8个整数,用空格分开(这些整数在范围 1——8 之间)不换行,表示目标状态。

    输出格式:

    Line 1: 包括一个整数,表示最短操作序列的长度。

    Line 2: 在字典序中最早出现的操作序列,用字符串表示,除最后一行外,每行输出60个字符。

    输入输出样例

    输入样例#1:

    2 6 8 4 5 7 3 1

    输出样例#1:

    7
    BCABCCB

    说明

    题目翻译来自NOCOW。

    USACO Training Section 3.2

    简述一下题意:给出一个序列,以及三种操作方式,求出最少达到目标序列的步数及进行的操作.


    显然我们需要通过搜索来求解,有两种方法: 迭代深搜广搜 .

    很显然如果直接迭代的话,时间复杂度是(O(3^{ans}))级别的,这样搜不了答案为15以上的数据.所以这里考虑广搜.

    我们可以将排列情况哈希一下,然后通过广搜搜最优解.

    这里介绍一个定理:康托展开 (其实这题可以不用).

    这玩意是什么呢?应该可以算作是一中哈希方法.

    • 康托展开:求一个排列情况是全排列中的第x项.
    • 康托逆展开:求全排列的第x项是什么.

    这里推荐一个觉得讲的比较好的博客:https://blog.csdn.net/wbin233/article/details/72998375

    大概讲一下如何求一个排列的康托展开:
    首先看有几个数小于最高位,然后这个数乘以数据规模-1的阶乘,累加到一个给定的值里面,然后第二位变为最高位,只向后找小于当前的值,一直到个位。

    如果这题用康托展开的话,可以很大程度上减小空间复杂度(似乎并没有什么用).但是直接转8进制也是可以过的.

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int N=20;
    const int M=50000;
    
    int jc[]={1,1,2,6,24,120,720,5040.40320};//预处理一个阶乘的数组
    int a[N], aim[N], goal, c[50];
    int step[M], con[M][N], q[M], vis[M], opt[M], pre[M];
    
    void out(int x){
        //printf("x=%d pre[x]=%d
    ",x,pre[x]);
        if(pre[x] > 1) out(pre[x]);
        if(x == 0) return;
        printf("%c",opt[x]-1+'A');
    }
    
    void change(int);//模拟改变情况
    
    int contor(int ch[]){//求康托展开
        int res = 0;
        for(int i=1;i<=8;i++){
    	    int cnt = 0;
    	    for(int j=i+1;j<=8;j++)
    	        if(ch[j] < ch[i]) cnt++;
    	    res += cnt * jc[8-i];
        }
        return res;
    }
    
    void bfs(){
        int head = 0, tail = 1, x;
        while(head < tail){
    	    x = head; head++;
    	    if(q[x] == goal){
    	        printf("%d
    ",step[x]);
    	        out(x); printf("
    ");
    	        exit(0);
    	    }
    	    for(int i=1;i<=3;i++){
    	        memcpy(a,con[x],sizeof(a));
    	        change(i); int nx = contor(a);
    	        if(vis[nx]) continue;
    	        q[++tail] = nx; vis[nx] = 1;
    	        step[tail] = step[x]+1; opt[tail] = i; pre[tail] = x;
    	        memcpy(con[tail],a,sizeof(a));
    	    }
        }
    }
    
    int main(){
        //freopen("magic.in","r",stdin);
        //freopen("magic.out","w",stdout);
        for(int i=1;i<=8;i++) cin >> aim[i];
        for(int i=1;i<=8;i++) con[1][i] = i;
        goal = contor(aim);
        bfs();
        return 0;
    }
    
    void change(int f){
        if(f == 1){
    	    for(int i=1;i<=4;i++)
    	        swap(a[i],a[9-i]);
        }
        if(f == 2){
    	    for(int i=4;i>1;i--)
    	        swap(a[i],a[i-1]);
    	    for(int i=5;i<8;i++)
    	        swap(a[i],a[i+1]);
        }
        if(f == 3){
    	    swap(a[7],a[6]); swap(a[6],a[3]);
    	    swap(a[3],a[2]);
        }
        //out();
    }
    
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