欧拉函数复习

介绍

在数论中,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler's totient function)，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

我们常用(phi(p))来表示(p)的欧拉函数值.

计算通式

欧拉函数的通式为：

[phi(x) = x*(1-frac{1}{p1})*(1-frac{1}{p2})*(1-frac{1}{p3})* ... *(1-frac{1}{p_n}) ]

其中(p_i)表示(x)的质因数。特别声明，(phi(1)=1)。

性质

• 如果(p)是质数
  1. (phi(p)=p-1)
  2. 若(i) mod (p=0), 那么(phi(i*p)=p*phi(i))
  3. 若(i) mod (p≠0), 那么(phi(i*p)=phi(i)*(p-1))
• 所有情况通用
  4. (phi(p^k) = p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1})

简单的证明(对应上面每一条性质):

1. 显然,因为 (p)为质数,所以与它前面的(p-1)个数都互质.
2. 引用自Lytning's Blog
3. 因为(i) mod (p ≠0),而欧拉函数是积性函数,至于为什么是积性函数(反正积性函数这东西知道就好了,没必要会证明)可以看看这篇博客,所以(phi(i * p)=phi(i)*phi(p)=phi(i)*(p-1))
4. 令(n=p^k),小于 n 的正整数共有(p^{k-1})个,其中与 p 不互素的个数共(p^{k-1}-1)个，它们是(1*p,2*p,3*p ... (p^{k-1}-1)*p)所以(phi(p^k) = (p^k-1)-(p^{k-1}-1)=p^k-p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}).(引用自angel_imp)

如何代码实现线性筛

这里我们需要用到前三条性质,并在筛素数的同时筛出欧拉函数.直接看代码注释吧.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=40000+5;

int n;
int prime[N];//存素数表
int size = 0;//素数表大小
int phi[N];//存欧拉函数值
bool is_prime[N];//是否为素数

void get_phi(int lim){
    memset(is_prime,1,sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    phi[1] = 1;
    for(int i=2;i<=lim;i++){
		if(is_prime[i])
		    prime[++size] = i, phi[i] = i-1;//性质1
		for(int j=1;j<=size && i*prime[j] <= lim;j++){
		    is_prime[i*prime[j]] = 0;//筛素数的过程
		    if(i % prime[j] == 0){phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];break;}//性质2
		    else phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//性质3
		}
    }
}

int main(){
    cin >> n;
    get_phi(n);
    return 0;
}

如何在(sqrt{n})的时间复杂度内求出(phi(n))

其实就直接利用欧拉函数的计算通式来计算就可以了.复杂度来自与(sqrt{n})的因式分解.

int Phi(int x){
    for(int i=1;i<=size && prime[i] <= x;i++)
		if(x % prime[i] == 0) x = x/prime[i]*(prime[i]-1);
    return x;
}

拓展欧拉定理

对于任意 (b geq varphi(p)) ,有：

[a^bequiv a^{bmod varphi(p)+varphi(p)}pmod{p} ]

当(b<varphi(p))时有 (a^bequiv a^{bmod varphi(p)}pmod{p}).

其中 (a,p) 可以不互质.

证明

可以看看ez_yww的博客 (我也不太会..).