莫比乌斯反演学习笔记

布尔表达式

形如[表达式]的叫做布尔表达式,其中括号内的内容如果为真则返回1,否则返回0.

莫比乌斯函数

也可以理解为如果(n)有平方因子,则(μ(n)=0),否则(μ(n)=1)或(-1).

莫比乌斯函数的性质

1. 对于任意正整数(n)有: $$sum_{d|n}μ(n)=left{egin{aligned}1 n = 1 n > 1\end{aligned} ight.$$
2. 对于任意正整数(n)有: $$sum_{d|n}frac{μ(n)}{d}=frac{phi(n)}{n}$$
3. (对于做莫比乌斯函数题最重要的性质)对于任意正整数(x,y)有:$$[gcd(x,y)==1]=sum_{d|x,d|y}μ(d)$$

如何筛莫比乌斯函数

根据莫比乌斯函数的定义(见上图)可知:

1. (μ(i)=1,(i in prime))
2. (μ(i)=-μ(p)*μ(frac {i}{p}), p in prime,p|i,i ot in prime)
   其实很好理解,因为(μ(i)=(-1)^k, i=p_1 imes p_2 imes ... imes p_k),所以如果(frac i p)多加入一个质因子(p)的话,求得的莫比乌斯函数就会正好与上次求得的结果相反(如果有平方质因子的话赋值为相反树也还是0).代码如下:

void init(int lim){
    int temp;
    mu[1] = nprime[0] = nprime[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= lim; i++){
	if(!nprime[i]) prime[++size] = i, mu[i] = -1;
	for(int j=1; j <= size && (temp = prime[j]*i) <= lim; j++){
	    nprime[temp] = 1;
	    if(i % prime[j] == 0) break;
	    mu[temp] = -mu[i];
	}
    }
}

莫比乌斯函数的前缀和

据说积性函数的前缀和是可以用(O(n^{frac 2 3}))的复杂度筛的 (然而我还不会...).所以我们可以先直接筛莫比乌斯函数,然后再(O(n))统计一下前缀和.

先扯到这里吧.