蓝桥杯-最大子阵

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问题

给定一个nxm的矩阵A，求A中的一个非空子矩阵，使这个子矩阵中的元素和最大。
其中，A的子矩阵指在A中行和列均连续的一块。
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示矩阵A的行数和列数。
接下来n行，每行m个整数，表示矩阵A。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示A中最大的子矩阵中的元素和。

样例输入

3 3
-1 -4 3
3 4 -1
-5 -2 8

样例输出

10

样例说明

取最后一列，和为10。
数据规模和约定
对于50%的数据，1<=n, m<=50；
对于100%的数据，1<=n, m<=500，A中每个元素的绝对值不超过5000。

---

思路

这题我是用动态规划求解，如下图，假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
|  ......................|
| ...................... |
| ar1 …… ari ……arj ……arn |
|  ......................|
| ...................... |
| ak1 …… aki ……akj ……akn |
|  ......................|
| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)，那么从中我们就可以把一个求子矩阵 的问题转换成一个求最大子段和 的问题，从中求出解。那么问题又来了，什么是最大子段和？怎么求最大子段和？
首先，我们看一个问题：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值
比如当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-1,11,-1,13,-5,-2)时，最大子段和就为23。

用动态算法求解:

**b[j]=max{a[i]+a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。
由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:
b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

最大子段和算法

int getMaxArray(int a[],int n){//求最大子段和
    int max=a[0],temp=0;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        if (temp>0) {
            temp+=a[i];
        }else {
            temp=a[i];
        }
        max=max>temp?max:temp;
    }
    return  max;
}

---

实现代码

#include "stdio.h"
#include<string.h>
int dp[100];
int getMaxArray(int a[],int n){//求最大子段和
    int max=a[0],temp=0;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        if (temp>0) {
            temp+=a[i];
        }else {
            temp=a[i];
        }
        max=max>temp?max:temp;
    }
    return  max;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int a[n][m];
    for(int i=0;i<n;i++){
        for (int j=0;j<m;j++) {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    int res=a[0][0],tmp;
    for (int i=0;i<n;i++) {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));//将dp数组置为0
        for (int j = i; j < n; ++j) {
            for (int k = 0; k < m; ++k) {
                dp[k] += a[j][k];
            }
            tmp = getMaxArray(dp, n);
            res = res > tmp ? res : tmp;
        }
    }
    printf("%d
", res);
}

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