51NOD

给一个共有n个点的凸多边形，求一条将该多边形划分为面积和周长都相等的两部分的直线。

Input

第一行一个正整数n，表示多边形的点数。（n <= 40000）
接下来的n行,第i+1行，每行两个实数xi,yi,表示凸多边形的一个点的坐标，点按照逆时针或顺时针的顺序给出。
其中n，|xi|,|yi|<=40000。

Output

如果存在这样的直线，将这条直线与凸多边形的两个交点的坐标分两行输出。你所求的直线必须与多边形有两个交点，且分多边形的两部分周长或面积相差都不能大于10^-3。
如果不存在，输出"impossible"（不含引号）。

Input示例

4
0 0
3 0
3 3
0 3

Output示例

1 0
2 3

解法：
任选多边形上一点，设周长为C，面积为S, p[x]表示顺时针沿着边走x长度的点，f(x)表示p[x],p[x + C / 2]以及沿途经过的顶点构成的多边形的面积 - S / 2。
则显然f(x) = -f(x + C / 2)，由零点存在定理知[x, x + C / 2]中必有一解使函数值为0。二分找零点即可。

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
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#include <vector>
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#include <map>
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#include <iomanip>
#include <cctype>
#include <cassert>
#include <bitset>
#include <ctime>

using namespace std;

#define pau system("pause")
#define ll long long
#define pii pair<int, int>
#define pb push_back
#define pli pair<ll, int>
#define pil pair<int, ll>
#define clr(a, x) memset(a, x, sizeof(a))

const double pi = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
const double EPS = 1e-9;

/*
#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include <ext/pb_ds/tree_policy.hpp>
using namespace __gnu_pbds;
#define TREE tree<pli, null_type, greater<pli>, rb_tree_tag, tree_order_statistics_node_update>
TREE T;
*/

struct Point {
    double x, y;
    Point () {}
    Point (double x, double y) : x(x), y(y) {}
    Point operator - (const Point &p) const {
        return Point(x - p.x, y - p.y);
    }
    double operator ^ (const Point &p) const {
        return x * p.y - y * p.x;
    }
    double len() {
        return sqrt(x * x + y * y);
    }
    bool operator == (const Point &p) const {
        return fabs(x - p.x) < EPS && fabs(y - p.y) < EPS;
    }
    void input() {
        scanf("%lf%lf", &x, &y);
    }
    void output() {
        printf("%.12f %.12f
", x, y);
    }
} p[40015], p1[40015], p2[40015];
Point slice(Point p1, Point p2, double l) {
    double L = (p2 - p1).len();
    if (L < EPS) return p1;
    return Point(p1.x + (p2.x - p1.x) * l / L, p1.y + (p2.y - p1.y) * l / L);
}
double L[40015];
double S(Point p[], int n) {
    double res = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        res += p[i] ^ p[(i + 1) % n];
    }
    return fabs(res);
}
int n;
double totS;
double cal(double x) {
    double sx = x, ex = x + L[n - 1] * 0.5;
    Point tp[40015];
    int index = 0;
    int id1 = upper_bound(L, L + n, sx) - L;
    int id2 = upper_bound(L, L + n, ex) - L;
    if (id1) sx -= L[id1 - 1];
    tp[index++] = slice(p[id1], p[(id1 + 1) % n], sx);
    for (int i = id1 + 1; i <= id2; ++i) {
        tp[index++] = p[i];
    }
    if (id2) ex -= L[id2 - 1];
    tp[index++] = slice(p[id2], p[(id2 + 1) % n], ex);
    return S(tp, index) - totS * 0.5;
}
Point get(double x) {
    int id = upper_bound(L, L + n, x) - L;
    if (id) x -= L[id - 1];
    return slice(p[id], p[(id + 1) % n], x);
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        p[i].input();
    }
    totS = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        L[i] = L[i - 1] + (p[(i + 1) % n] - p[i]).len();
    }
    double s = 0, e = L[n - 1] * 0.5, mi;
    int f = cal(s) > 0;
    for (int rep = 1; rep <= 70; ++rep) {
        mi = (s + e) * 0.5;
        double v = cal(mi);
        if (fabs(v) < EPS) break;
        if (f == (v > 0)) {
            s = mi;
        } else {
            e = mi;
        }
    }
    get(mi).output();
    get(mi + L[n - 1] * 0.5).output();
    return 0;
}