P6189 [NOI Online 入门组]跑步

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题目描述

分析

这道题等价于将(n)划分为若干个正整数之和有多少种方案

显然运用完全背包可以解决这个问题，但完全背包的时间复杂度为(O(n^2))，而题目给定的(nleq10^5)所以考虑进行优化，我们进行分块处理，将所有的数分为小于等于(sqrt{n})的和大于(sqrt n)的，显然小于等于(sqrt n)的部分可以用完全背包来处理，而大于(sqrt n)的数显然不可能有多于(sqrt n)个，所以设(f_{i,j})表示(i)个大于(sqrt n)的数和为(j)的方案数，那么有(f_{i,j}=f_{i,j-sqrt n}+f_{i,j-i})转移方程中第一项表示拆分序列中加上一个数，第二项表示所有数加1，这样就不会遗漏

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
int dp1[N],dp2[1005][N];

int main()
{
	int n,m,p;
	scanf("%d%d",&n,&p);
	m=sqrt(n)+1;
	dp1[0]=1;
	for(int i=1;i<m;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
			dp1[j]+=dp1[j-i],dp1[j]%=p;
	dp2[0][0]=1;
	for(int i=1;i<m;i++)
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			dp2[i][j]=dp2[i][j-i];
			if( j >= m ) dp2[i][j]+=dp2[i-1][j-m];
            dp2[i][j]%=p;
		}
	int ans = 0;
    for(int i=0;i<=n;i++)
	{
        long long sum = 0;
        for(int j=0;j<m;j++) sum+=dp2[j][n-i];
        sum%=p;
        ans=(ans+dp1[i]*sum)%p;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}