DP的四边形不等式及决策单调性优化

DP的四边形不等式及决策单调性优化

四边形不等式

设函数(w(x,y))

若对于任意的(aleq bleq cleq d)，满足(w(a,c)+w(b,d)leq w(a,d)+w(b,c))则称函数(w)满足四边形不等式

性质一：

(w)满足四边形不等式当且仅当(w(i,j)+w(i+1,j+1)leq w(i+1,j)+w(i,j+1))

首先，根据四边形不等式的定义，必要性显然，接下来证明充分性

移项可得：(w(i,j)-w(i,j+1)leq w(i+1,j)-w(i+1,j+1))

推广可得：(w(i,j)+-w(i,j+1)leq w(i+k,j)-w(i+k,j+1) (k>0))

(∴w(i,j)-w(i+k,j)leq w(i,j+1)-w(i+k,j+1) (k>0))

(∴w(i,j)+w(i+k,j+1)leq w(i,j+1)+w(i+k,j))

充分性得证

区间包含单调

若对于任意的(aleq bleq cleq d)满足(w(a,d)leq w(b,c))或对于任意的(aleq bleq cleq d)满足(w(a,d)geq w(b,c))，则称(w)满足区间包含单调

常用形式

形式一：(f(i,j)=min(f(i,k)+f(k+1,j)))

假设(f(i,j))的最优决策点为(p(i,j))

定理一：若(f)满足四边形不等式，则(p(i,j-1)leq p(i,j)leq p(i+1,j))

证明：

设决策点(xleq y)

有(f(x,j-1)+f(y,j)leq f(x,j)+f(y,j-1))

两边同时加上(f(i,x-1)+f(i,y-1))得

(f_x(i,j-1)+f_y(i,j)leq f_x(i,j)+f_y(i,j-1))

(f_x(i,j-1)-f_y(i,j-1)leq f_x(i,j)-f_y(i,j))

若(x)优于(y)，则(f_x(i,j)-f_y(i,j)leq0)

(∴f_x(i,j-1)-f_y(i,j-1)leq0)

即在对于(f(i,j-1))的转移中(x)也优于(y)

若(k>p(i,j))，则(p(i,j))在对于(f(i,j-1))的转移中也优于(k)，即(p(i,j-1)leq p(i,j))，不等式后半部分同理

定理一得证

运用定理一可将时间复杂度从(O(n^3))降到(O(n^2))

形式二：(f(i,j)=max(f(i,k)+f(k+1,j)))

将形式一中四边形不等式的符号反向即可

形式三：(f(i,j)=min(f(i,k)+f(k+1,j)+w(i,j)))

定理二：若(w)满足区间包含单调和四边形不等式，则(f)也满足区间包含单调和四边形不等式

证明：

(∵w)满足区间包含单调

(∴w)全为正或全为负

(∴f)也满足区间包含单调

下面证明四边形不等式

当(a=b或c=d)时显然成立

下面对区间长度进行归纳

(1^ob=c)

有(aleq b=cleq d)，设(x为f(a,d))的最优决策点，由对称性，不妨设(xleq b)

(f(a,c)+f(b,d)=f(a,b)+f(b,d)leq f(a,x)+f(x+1,b)+w(a,b)+f(b,d))

(leq f(a,x)+f(x+1,b)+f(b,d)+w(a,d)leq f(a,x)+f(x+1,d)+w(a,d))

(=f(a,d)=f(a,d)+f(b,c))

(2^ob eq c)

有(a<b<c<d)，设(x)为(f(a,d))的最优决策点，(y)为(f(b,c))的最优决策点，由对称性，不妨设(xleq y)

(f(a,c)+f(b,d)leq f(a,x)+f(x+1,c)+w(a,c)+f(b,y)+f(y+1,d)+w(b,d))

(leq f(a,x)+f(b,y)+f(x+1,d)+f(y+1,c)+w(a,c)+w(b,d))

(leq f(a,x)+f(x+1,d)+f(b,y)+f(y+1,c)+w(a,d)+w(b,c))

(=f(a,d)+f(b,c))

定理二得证

形式四：(f(i)=min(f(j)+w(j+1,i)))

可以将(f(i))看作(f(1,i))，根据定理二：只要(w)满足区间包含单调和四边形不等式，(f)也满足区间包含单调和四边形不等式，根据定理一：(s(i-1)leq s(i))就将时间复杂度从(O(n^2))降到了(O(n))

题目：

P1912 诗人小G

HDU3506 Monkey Party

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