洛谷P3455 [POI2007]ZAP-Queries【莫比乌斯反演】

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题解

这算是莫比乌斯反演的最简模板了吧。
首先手推公式，设：

[f(d)=sum_{x=1}^{N}sum_{y=1}^{M}[gcd(x,y)=d]qquad (Nle M) ]

根据 (F(n)=sum_{n|d}f(d))，得：

[F(n)=igglfloorfrac{N}{n}igg floorigglfloorfrac{M}{n}igg floor ]

根据莫比乌斯反演，得：

[f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})F(d)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})igglfloorfrac{N}{d}igg floorigglfloorfrac{M}{d}igg floor ]

枚举 (t=frac{d}{n})，得：

[f(n)=sum_{t=1}^{iglfloorfrac{N}{n}ig floor}mu(t)igglfloorfrac{N}{nt}igg floorigglfloorfrac{M}{nt}igg floor ]

剩下的工作就要编程实现了，利用对 (mu) 求前缀和与整除分块，就可以在 (O(sqrt{n})) 以内回答每个问题了。
感觉莫比乌斯反演最难的还是通过 (f(d)) 正确得到 (F(n))。

代码

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=5e4+10;
int n,m,vis[N],prime[N],cnt,mu[N],sum[N],d;

void init(int n){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) {prime[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
		for(int j=1;j<=cnt&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}

int main(){
	init(5e4);
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		LL ans=0;
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
		n/=d,m/=d;
		for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			if(r>min(n,m)) break;
			ans+=1ll*(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l);
		}
		printf("%lld
",ans);
	}
	return 0;
}