2019牛客暑期多校训练营（第一场）H XOR【线性基】

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题意

给(n)个数，计算所有异或和为(0)的子集大小之和。

思路

首先要把计算所有子集的大小之和这个问题转变一下，求每个数处在的异或和为(0)的子集的个数的和。
然后求这(n)个数的线性基(B_1)，设(B_1)的秩为(R)，这里对于线性基熟悉的老哥能发现：对于原(n)个数的任意子集，(B_1)中的(R)个数有且仅有(1)个子集与之异或和相等。
所以对于每个不在(B_1)里的数(x)，可以从除(x)和(B_1)的(n-R-1)个数中任意选一个子集(S)，对应(B_1)中有且仅有(1)个子集(s)与({x}cup S)异或和相等，所以(scup {x}cup S)是对于(x)的一个子集，而(x)对应(2^{n-R-1})个(S)，每个(S)只对应(1)个(s)。所以对于除(B_1)外的(n-R)个数，累计有((n-R)*2^{n-R-1})。
然后考虑(B_1)中的每个数(x)，对除它以外的(n-1)个数求出线性基(B_3)，如果(x)不能被(B_3)表示的话，显然它不会参与任何子集。否则同样也会对答案产生(2^{n-R-1})的贡献。
关于如何快速求出(B_3)：先对除(B_1)的(n-R)个数求除线性基(B_2)，然后枚举(B_1)中的数(x)，每次(B_3=B_2)，然后将除(x)的(R-1)个数加入(B_3)就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=3e5+10;
const int mod=1e9+7;
inline LL qpow(LL x,LL k=mod-2,LL m=mod){LL res=1;while(k){if(k&1) res=res*x%m;x=x*x%m;k>>=1;}return res;}
int n,ins[N];LL a[N];
vector<LL> bs;

struct LB{
    LL b[70];bool zero;int R;
    void init(){memset(b,0,sizeof(b));zero=R=0;}
    bool insert(LL x){
        if(x==0) zero=1;
        for(int i=63;i>=0;i--){
            if(!(x>>i&1)) continue;
            if(!b[i]){b[i]=x;R++;return 1;}
            x^=b[i];
        }
        return 0;
    }
}B1,B2,B3;

void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    B1.init();B2.init();B3.init();bs.clear();
    for(int i=1;i<=n+5;i++) ins[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        ins[i]=B1.insert(a[i]);
        if(ins[i]) bs.pb(a[i]);
    }
    LL ans=1ll*(n-B1.R)*qpow(2,n-B1.R-1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!ins[i]) B2.insert(a[i]);
    for(int i=0;i<bs.size();i++){
        B3=B2;
        for(int j=0;j<bs.size();j++){
            if(i==j) continue;
            B3.insert(bs[j]);
        }
        int res=B3.insert(bs[i]);
        if(res) continue;
        ans=(ans+qpow(2,n-B3.R-1))%mod;
    }
    printf("%lld
",ans); 
}

int main(){
    while(~scanf("%d",&n)) solve();
    return 0;
}