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动态规划学习

前言

以前我也算是接触过一点DP，陆陆续续学了一些背包问题，线性动规和区间动规。现在我再次发现了动规的重要性，决定在暑假里专门刷一些动规题。这篇blog主要记录我刷过的一些DP题。

引用 _皎月半撒花大佬的一段话

动态规划自古以来是(dalao)凌虐萌新的分水岭，但有些(OIer)认为并没有这么重要——会打暴力，大不了记忆化。但是其实，动态规划学得好不好，可以彰显出一个(OIer)的基本素养——能否富有逻辑地思考一些问题，以及更重要的——能否将数学、算筹学（决策学）、数据结构合并成一个整体并且将其合理运用(qwq)。

正文（这是我的qwq）

（~~PS：考完后一定记得来写题解~~）

([序号].) ( exttt{[ 标题 ]})

题目链接

( exttt{题解})

[ 内容 ]

( exttt{Code})

(1.) ( exttt{P1040 加分二叉树})

题目链接

( exttt{题解})

暂无

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 37
using namespace std;
int n;
int val[N],f[N][N],root[N][N];
void print(int l,int r)
{
	if(l > r) return ;
	if(l == r) {printf("%d ",l); return ;}
	printf("%d ",root[l][r]);
	print(l,root[l][r]-1);
	print(root[l][r]+1,r);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&val[i]) ,f[i][i] = val[i] ,f[i][i-1] = 1;
	for(int i=n;i>=1;--i)
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			for(int k=i;k<=j;++k)
				if(f[i][j] < f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k])
				{
					f[i][j] = f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
					root[i][j] = k;
				}
	printf("%d
",f[1][n]);
	print(1,n);
	return 0;
}

(2.) ( exttt{P1133 教主的花园})

题目链接

( exttt{题解})

定义状态：$f[i][j][k] $

是第 (i) 棵树

(j)表示(i)前面这棵树的前面这棵是否比前面这棵高，高为1，矮为0

k表示前面这棵树种的多高的树

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 100007
#define M 5
#define Max(a,b,c,d) max(max(max(a,b),c),d)
using namespace std;
int n,ans;
int t[N][M];
int f[N][M][M];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=3;++j)
			scanf("%d",&t[i][j]);
	for(int j=1;j<=3;++j)
	{
	for(int i=1;i<=3;++i)
		for(int k=0;k<=1;++k)
			f[1][k][i] = 0;
	f[1][1][j] = f[1][0][j] = t[1][j];	//种j 
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		f[i][0][2] = f[i-1][1][1] + t[i][2];	//前矮种2 ，前一位是1，再前高 
		f[i][0][3] = max(f[i-1][1][1],f[i-1][1][2]) + t[i][3];	//前矮种3 ，前一位是1或2，再前高 
		f[i][1][1] = max(f[i-1][0][2],f[i-1][0][3]) + t[i][1];	//前高种1 ，前一位是2或3，再前矮 
		f[i][1][2] = f[i-1][0][3] + t[i][2];	//前高种2 ，前一位是3，再前矮 
	}
	for(int i=1;i<j;++i)
		ans = max(ans,f[n][1][i]);
	for(int i=3;i>j;--i)
		ans = max(ans,f[n][0][i]);
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(3.) ( exttt{P1122 最大子树和})

题目链接

( exttt{题解})

简单树形(DP)，只是把<最大子段和>放到树上来了而已。

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 16007
using namespace std;
int n,cnt,ans;
int val[N],f[N];
int head[N];
struct Edge {
	int next,to;
}edge[N<<1];
void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].next = head[u];
	edge[cnt].to = v;
	head[u] = cnt;
}
void Dfs(int fa,int u)
{
//	printf("Now u= %d
",u);
//	f[u] = val[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v != fa) {
			Dfs(u,v);
			f[u] = max(f[u],f[u]+f[v]);
		}
	}
//	printf("f = %d
",f[u]);
	ans = max(ans,f[u]);
	return ;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&val[i]) ,f[i] = val[i];
	for(int i=1,u,v;i<=n-1;++i)
		scanf("%d%d",&u,&v) ,add(u,v) ,add(v,u);
	Dfs(0,1);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(4.) ( exttt{P1336 最佳课题选择})

题目链接

( exttt{题解})

~~绿题难度疑似评高?~~

定义状态：(f[i][j]) 表示(i)及之前所以课题写了(j)篇的最大值

状态转移方程： (f(i,j) = min f(i,j) ,f(i-1,j-k)+val)

枚举k ； val = ai*k^bi

有点背包的味道。emm。

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 207
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int a[N],b[N];
int f[N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
//	printf("OK");
	for(int i=1;i<=m;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			for(int k=0;k<=j;++k)
			{
				int val = a[i] * pow(k,b[i]);
				if(f[i][j]==0 || i==1) f[i][j] = f[i][j] = f[i-1][j-k] + val;
				else f[i][j] = min(f[i][j],f[i-1][j-k]+val);
			}
	printf("%lld
",f[m][n]);
	return 0;
}

(5.) ( exttt{P1353 [USACO08JAN]跑步Running})

题目链接

( exttt{题解})

~~DP大水题~~

定义状态 (f[i][j])是(i)时刻(j)疲劳度最大跑步米数。

但是直接做我WA了，因此使用刷表法。

刷表法做的题不多，但他也是DP中的一种重要方法。刷表法是通过已知得到未知，顾名思义，就是通过已知数据把空白表填满。

就例如我现在有1万元，我还能工作10年，如果~~每年可以赚2万~~，我可以通过刷表预先得知10年后我有21万元。
但一般的动规是，我去年有10万，今年能赚5万，所以我今年有15万。具体的不同还是要靠自己慢慢体会。

边界 (f[1][1] = D[1])

状态转移（有max就对后面的数取max的意思，~~都看得懂吧~~）

已经是(0)，只能休息 (f(i,0) = max f(i,0) , f(i-1,0))

不是(0)，选择休息 (f(i+j,0) = max f(i+j,0) ,f(i,j))

选择跑步 (f(i+1,j+1) = max f(i+1,j+1) ,f(i,j)+D[i+1])

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 20007
using namespace std;
int n,m;
int d[N];
int f[N][N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&d[i]);
	f[1][1] = d[1];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=min(i,m);++j)	//防止数组越界 
		{
			if(j==0) f[i][0] = max(f[i][0],f[i-1][0]);
			else f[i+j][0] = max(f[i+j][0],f[i][j]);	//休息 刷上去 
			f[i+1][j+1] = max(f[i+1][j+1],f[i][j]+d[i+1]); //跑步 刷上去 
		}
	printf("%d
",f[n][0]);
	return 0;
}

(6.) ( exttt{P1982 小朋友的数字})

题目链接

( exttt{题解})

这道题又综合了<最大子段和>的思想。

题意有点难懂，首先翻译一下题意:

先把(n)个小朋友抽象为(n)个点，每个点上有3个数值。

手牌值：题目会输入进来，这里用(a_i)表示

特征值：这个点前面（包括这个点）连续若干个（最少有一个）点的手牌值之和的最大值。实际上就是最大子段和。这里用(t_i)表示。

分数值(用(f_i)表示)：这个点 (i) 前面(不包含(i)) 任意一个点(设为点(j)) 使得(f_j)+(t_j) 的值最大，(f_j)+(t_j)的最大值就是 (i)点分数。

总结一下

(a_i) 从题目中输入

(t_i) 最大子段和

(f_i) 由我们来(DP)

最后的答案是要(f_i)中最大的那个数，我们可以通过边(DP)，边取(max)得出。

先来看一下(t_i)怎么求（~~一开始我DP方程就推对了，就是因为这个求错坑了两天~~）

for(int i=1;i<=n;++i)
{
	b[i] = max(a[i],a[i]+b[i-1]);
	mx = max(mx,b[i]);
	t[i] = mx;
}

定义状态 (f[i]) 是 (i) 的最大分数。

那么 (f[i-1]) 一定是 (i-1) 前最大 (f_j+t_j)

(f[i-1] + t[i-1]) 我们还没试过

所以动态转移方程为 $f[i] = max ( f[i-1] , f[i-1]+t[i-1]) $

预处理 (f[1] = t[1] , f[2] = f[1] + t[1])

(f[2]) 一定要预处理！

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 1000007
#define INF 0x7fffffff
#define int long long
using namespace std;
int n,p,maxn;
int a[N],b[N],t[N],f[N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&p);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&a[i]);
	int mx = -INF;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		b[i] = max(a[i],a[i]+b[i-1]);
		mx = max(mx,b[i]);
		t[i] = mx;
	}
	f[1] = t[1] ,f[2] = f[1] + t[1];				//预处理f[1],f[2] 
	maxn = max(f[1],f[2]);							//预处理maxn 
	bool flag = 0;
	for(int i=3;i<=n;++i)
	{
		if(f[i-1]+t[i-1]<0 && f[i-1]>0) flag = 1;	//爆longlong了， 
		if(flag) f[i] = f[i-1] % p + t[i-1] % p;	//特殊处理，中间取模 
		else f[i] = max(f[i-1],f[i-1]+t[i-1]);		//没有爆就正常操作 
		maxn = max(maxn,f[i]) % p;					//不影响取maxn 
	}
	printf("%lld
",maxn % p);
	return 0;
}

(7.) ( exttt{P2733 家的范围 Home on the Range})

题目链接

( exttt{题解})

是一道好题，思路新奇。

定义状态：(f[i][j]) 表示以(i,j)作为结尾的矩阵中最大的正方形边长

如果(i,j)是(1) ，那么动态转移方程为 (f[i][j] = min(f[i-1][j],f[i][j-1],f[i-1][j-1]) + 1)

你可能会问：为什么是这样？不要判断(i，j)的上、左方是否为1吗？

其实你只要画图想想，如果(i,j)上方不为(1)，那么(f[i-1][j]=0) ，其他同理。只要(i,j)的左上哪里最小，他就只能继承哪里。

那么这个(f[i][j])有什么用呢？

我们每知道一个矩阵里最大的正方形是多少，就把 $num[f[i][j]]++ (，记录下来。但我只记录最大的，**不过大的里面包含小的**。例如我记录了)f[i][j]$的最大正方形是(5,num[5]++)，那么其实这里面肯定有大小为4,3,2的正方形。最后我们要用叠加的方式加入(num[4]),(num[3])和(num[2])。所以(num[4]+=num[5],num[3]+=num[4])，同理(num[i]+=num[i+1])

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 257
using namespace std;
int n,m;
int map[N][N],f[N][N];
int num[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			scanf("%1d",&map[i][j]);	//控制读入一个数字
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			if(map[i][j] == 1)
			{
				f[i][j] = min(min(f[i-1][j],f[i][j-1]),f[i-1][j-1]) + 1;
				num[f[i][j]]++;
			}
	for(int i=n;i>=2;--i)
		num[i] += num[i+1];
	for(int i=2;i<=n;++i)
		if(num[i]) printf("%d %d
",i,num[i]);
	return 0;
}

(8.) ( exttt{P2734 游戏 A Game})

题目链接

( exttt{题解})

区间DP题

状态很好推，只有选右和选左两种情况

定义状态：(f[i][j])为选(i,j)段的最大得分

玩家1的得分肯定是(f[i][j])

因为是一轮一轮来,如果玩家1的选左边，玩家2的得分就是(f[i+1,j]),所以：

如果玩家1 选了左边，总得分就是：(sum[i+1,j]-f[i+1,j]+a[i])

如果玩家1 选了右边，总得分就是：(sum[i,j-1]-f[i,j-1]+a[j])

动态转移方程： (f[i,j] = max(sum[i+1,j]-f[i+1,j]+a[i] , sum[i,j-1]-f[i,j-1]+a[j]))

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 207
using namespace std;
int n;
int a[N],sum[N];
int f[N][N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]) ,sum[i] = sum[i-1] + a[i] ,f[i][i] = a[i];	//记得初始化 
//	倒序枚举才能使区间从小到大 
	for(int i=n;i>=1;--i)
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			f[i][j] = max(sum[j]-sum[i-1]-f[i+1][j],sum[j]-sum[i-1]-f[i][j-1]);
//	与之前这个动态转移方程是等价的 
	printf("%d %d
",f[1][n],sum[n]-f[1][n]);
	return 0;
}

(9.) ( exttt{P2736 “破锣摇滚”乐队 Raucous Rockers})

题目链接

( exttt{题解})

二维费用背包DP

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 27
#define max(a,b,c) max(max(a,b),c)
using namespace std;
int n,T,M;
int a[N];
int f[N][N];
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&T,&M);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int k=1;k<=n;++k)	
		for(int i=M;i>=1;--i)
			for(int j=T;j>=a[k];--j)
				f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][T]+1,f[i][j-a[k]]+1);
	printf("%d
",f[M][T]);
	return 0;
}

(10.) ( exttt{P2854 [USACO06DEC]牛的过山车Cow Roller Coaster})

题目链接

( exttt{题解})

又是一道背包

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 10007
#define MAXN 1007
using namespace std;
int n,Len,B;
int f[MAXN][MAXN];
struct Node {
	int l,L,r,F,C;
	bool operator < (const Node &a) {
		return l < a.l;
	}
}a[N];
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&Len,&n,&B);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d%d%d%d",&a[i].l,&a[i].L,&a[i].F,&a[i].C) ,a[i].r = a[i].l + a[i].L;
	sort(a+1,a+1+n);
	memset(f,-1,sizeof(f));
	f[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=B-a[i].C;++j)
			if(f[a[i].l][j] != -1)
				f[a[i].r][j+a[i].C] = max(f[a[i].r][j+a[i].C],f[a[i].l][j]+a[i].F);
	int ans = -1;
	for(int i=0;i<=B;++i)
		ans = max(ans,f[Len][i]);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(11.) ( exttt{P1005 矩阵取数游戏})

题目链接

( exttt{题解})

~~第一道蓝题DP，方程一遍推对，好开心！~~

其实只要区间DP每行就好了，更矩阵没有多大关系。跟<P2734 游戏 A Game> 这个题目有点像，（我之前写了笔记）。

代码没打高精，只能拿60pts。

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 107
#define int long long
using namespace std;
int n,m,ans;
int a[N][N],f[N][N];
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			scanf("%lld",&a[i][j]);
	for(int line=1;line<=n;++line)
	{
		memset(f,sizeof(f),0);
		for(int i=m;i>=1;--i)
			for(int j=i;j<=m;++j)
			{
				int k = m - (j-i);
//				printf("i=%d,j=%d,k=%d
",i,j,k);
				if(i==j) f[i][j] = a[line][i]*pow(2,k);
				else f[i][j] = max(f[i+1][j]+a[line][i]*pow(2,k),f[i][j-1]+a[line][j]*pow(2,k));
//				printf("### f[%d][%d] = %d
",i,j,f[i][j]);
			}
//		printf("f = %d
",f[1][m]);
		ans += f[1][m];
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

(12.) ( exttt{P1352 没有上司的舞会})

题目链接

( exttt{题解})

简单树形DP，只有这个点来和不来两种状态，方程应该很好推了吧。QwQ

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 6007
using namespace std;
int n,cnt;
int a[N],head[N];
int f[N][2];
struct Edge {
	int next,to;
}edge[N<<1];
void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].next = head[u];
	edge[cnt].to = v;
	head[u] = cnt;
}
void Dfs(int u,int fa)
{
	f[u][1] = a[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v != fa) {
			Dfs(v,u);
			f[u][1] = max(f[u][1],f[u][1]+f[v][0]);
			f[u][0] = max(f[u][0],(f[u][0]+=max(f[v][1],f[v][0])));
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1,u,v;i<=n-1;++i)
		scanf("%d%d",&u,&v) ,add(u,v) ,add(v,u);
	Dfs(1,0);
	printf("%d
",max(f[1][1],f[1][0]));
	return 0;
}

(13.) ( exttt{P2014 选课})

题目链接

( exttt{题解})

把(0)也算成一个节点，就变成一颗树了，考虑树形DP

定义状态 (f[i,j]) 是 第(i)个点为根的子树，选(j)门课程最大学分

动态转移方程 (f[i,j] = f[i,j] , f[i,j-k]+f[ch,k])

(ch)是儿子节点,意思是我选k门儿子的课程获得最大值

初始化每个点是自己的分值

注意枚举范围，每个点必须先选自己，不然选不了儿子

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 307
using namespace std;
int n,m,cnt;
int s[N],head[N];
int f[N][N];
struct Edge {
	int next,to;
}edge[N<<1];
void add(int u,int v)
{
	edge[++cnt].next = head[u];
	edge[cnt].to = v;
	head[u] = cnt;
}
void Dfs(int u,int fa)
{
//	printf("u=%d  
",u);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		f[u][i] = s[u];
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if(v != fa)
		{
			Dfs(v,u);
			if(u!=0)
			for(int j=m;j>=1;--j)
				for(int k=1;k<j;++k)
					f[u][j] = max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]);
//			printf("f[%d][m] = %d
",u,f[u][m]);
		}
	}
//	printf("u=%d  
",u);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,v;i<=n;++i)
		scanf("%d%d",&v,&s[i]) ,add(i,v) ,add(v,i);
	Dfs(0,0);
	for(int i=head[0];i;i=edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		for(int j=m;j>=1;--j)
			for(int k=1;k<=j;++k)
				f[0][j] = max(f[0][j],f[0][j-k]+f[v][k]);
	}
	printf("%d
",f[0][m]);
	return 0;
}

(14.) ( exttt{P1854 花店橱窗布置})

题目链接

( exttt{题解})

简单题，自己看吧。

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 107
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
int n,m,ans,I;
int pre[N][N];
int a[N][N],f[N][N];
void print(int i,int j)
{
	if(i > 1) print(i-1,pre[i][j]);
	printf("%d ",j);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
		{
			f[i][j] = -INF;
			for(int k=i-1;k<j;++k)
				if(f[i][j] < f[i-1][k]+a[i][j])
				{
					f[i][j] = f[i-1][k]+a[i][j];
					pre[i][j] = k;
				}
		}
	for(int i=n;i<=m;++i)
		if(ans < f[n][i])
			ans = f[n][i] ,I = i;
	printf("%d
",ans);
	print(n,I);
	return 0;
}

(15.) ( exttt{P2732 商店购物 Shopping Offers})

题目链接

( exttt{题解})

发现还是更一下题解好一点。

看到 <=5 考虑直接五维DP。

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 107
using namespace std;
int s,b,cnt;
int id[1007];
int T[6],V[6],P[N],K[N][6];
int f[6][6][6][6][6];
int main()
{
	int n,c,k,p;
	scanf("%d",&s);
	for(int i=1;i<=s;++i)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			scanf("%d%d",&c,&k);
			if(!id[c]) id[c] = ++cnt;
			K[i][id[c]] = k;
		}
		scanf("%d",&p);	P[i] = p;
	}
	scanf("%d",&b);
	for(int i=1;i<=b;++i)
	{
		scanf("%d%d%d",&c,&k,&p);
		if(!id[c])	id[c] = ++cnt;
		T[id[c]] = k;
		V[id[c]] = p;
	}
	for(int i=0;i<=T[1];++i)
		for(int j=0;j<=T[2];++j)
			for(int k=0;k<=T[3];++k)
				for(int l=0;l<=T[4];++l)
					for(int m=0;m<=T[5];++m)
					{
						int &t = f[i][j][k][l][m] = i*V[1] + j*V[2] + k*V[3] + l*V[4] + m*V[5];
						for(int d=1;d<=s;++d)
							if(i-K[d][1]>=0 && j-K[d][2]>=0 && k-K[d][3]>=0 && l-K[d][4]>=0 && m-K[d][5]>=0)
								t = min(t,f[i-K[d][1]][j-K[d][2]][k-K[d][3]][l-K[d][4]][m-K[d][5]]+P[d]);
					}
	printf("%d
",f[T[1]][T[2]][T[3]][T[4]][T[5]]);
	return 0;
}

(16.) ( exttt{P2948 [USACO09OPEN]滑雪课Ski Lessons})

题目链接

( exttt{题解})

对于雪坡是没有必要DP的，我们需要设立一个数组(ti[])来储存i能力值滑雪一次的最小时间

我们需要对每一节课DP，因为每一节课分为上和不上两种状态，两节课之间滑雪几次我们可以将两节课之间的时间除以ti[k] (k为能力值)

那么定义状态： (f[i][j]) 为 (i)时刻 (j)能力值的最大滑雪次数

状态转移方程：

学习这节课，学习完课后的能力值为k，上一节课的结束为l ，这一节课的开始为s，看一下能课程与课程中间能滑雪多少次，对哪个状态发生了改变(~~方程自己想~~)。
不学习这节课，上一节课的能力为k，上一节课的结束为l，这一节课的结束为s，（同上）。

自己想吧！

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int T,n,m;	//有T时间 n个课程 m个坡 
int ti[107];	//有i能力滑雪的最小时间 
int f[10007][107];
struct Node {
	int St,End,capa;	//capacity
	bool operator < (const Node &a) {
		return End < a.End;
	}
}les[107];
int main()
{
	memset(ti,127,sizeof(ti));
	scanf("%d%d%d",&T,&n,&m);
	for(int i=1,st,Len,ai;i<=n;++i) {
		scanf("%d%d%d",&st,&Len,&ai);
		les[i] = (Node){st,st+Len,ai};
	}
	for(int i=1,di,ci;i<=m;++i) {
		scanf("%d%d",&ci,&di);
		for(int j=ci;j<=100;++j)
			ti[j] = min(ti[j],di);
	}
	sort(les+1,les+1+n);
	les[0] = (Node){0,0,1};
	/*
	for(int i=0;i<=n;++i,putchar('
'))
		printf("test : s=%d E=%d capacity=%d",les[i].St,les[i].End,les[i].capa);
	for(int i=1;i<=T;++i)
		printf("test : ti[%d]=%d
",i,ti[i]);
	*/
	for(int i=0;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<i;++j) {
			int x = les[j].End ,y = les[i].St ,y1 = les[i].End;
			int k = les[j].capa ,k1 = les[i].capa;
			f[y1][k] = max(f[y1][k],f[x][k]+((y1-x)/ti[k]));
			if(x < y) f[y1][k1] = max(f[y1][k1],f[x][k]+((y-x)/ti[k]));
		}
	int ans = -1;
	for(int i=0;i<=n;++i) {
		int x = les[i].End ,k = les[i].capa;
		f[T][k] = max(f[T][k],f[x][k]+((T-x)/ti[k]));
		ans = max(ans,f[T][k]);
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(17.) ( exttt{P2530 [SHOI2001]化工厂装箱员})

题目链接

( exttt{题解})

这是一道好题，不过有点困不想讲思路了，给大家看一下别人的吧。

（注：以下均为转载）

这里提供一种新的思路:

状态:f[i][j][k][m] : 前i个物品当前手中有j个"A" k个"B" m个"C"时的最小卸货次数

很明显对于第i个物品可以

1:)只取出来暂时不装进去前提就是当前手中货物数量<10

2:)取出来后装进去没有前提

所以转移方程就出来了:

f[i][j][k][m] = f[i-1][j-1][k][m] if(ob[i]=='A' && j)

f[i][j][k][m] = f[i-1][j][k-1][m] if(ob[i]=='B' && k)

f[i][j][k][m] = f[i-1][j][k][m-1] if(ob[i]=='C' && m)

以上三个均是只取出来

f[i][0][k][m] = f[i][j][k][m] + 1 ;

f[i][j][0][m] = f[i][j][k][m] + 1 ;

f[i][j][k][0] = f[i][j][k][m] + 1 ;

这三个就是卸货啦qwq 还有一个大前提:j+k+m<=10

初值:f[0][0][0][0]=0 ; 其他均为+oo

目标:f[n][0][0][0]

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 107
using namespace std;
int n;
int f[N][11][11][11];
char s[N];
int main()
{
	memset(f,127,sizeof(f));
	f[0][0][0][0] = 0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin >> s[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int a=0;a<=10;++a)
			for(int b=0;b<=10;++b)
				for(int c=0;c<=10;++c) {
					if(a+b+c > 10) continue;
					if(s[i] == 'A' && a) f[i][a][b][c] = f[i-1][a-1][b][c];
					if(s[i] == 'B' && b) f[i][a][b][c] = f[i-1][a][b-1][c];
					if(s[i] == 'C' && c) f[i][a][b][c] = f[i-1][a][b][c-1];
					f[i][0][b][c] = min(f[i][0][b][c],f[i][a][b][c]+1);
					f[i][a][0][c] = min(f[i][a][0][c],f[i][a][b][c]+1);
					f[i][a][b][0] = min(f[i][a][b][0],f[i][a][b][c]+1);
				}
	printf("%d
",f[n][0][0][0]);
	return 0;
}

(18.) ( exttt{P2915 [USACO08NOV]奶牛混合起来Mixed Up Cows})

题目链接

( exttt{题解})

是一道状压DP的好题。

// 思想很巧妙！设f[i][j] 为i状态压缩，j奶牛结尾。

// 每个序列不定奶牛结尾，只要满足差值就可以由上一个奶牛转移过来

太困不想写了。

( exttt{Code})


//	思想很巧妙！设f[i][j] 为i状态压缩，j奶牛结尾。
//	每个序列不定奶牛结尾，只要满足差值就可以由上一个奶牛转移过来 
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 20
#define MAXN 67000
#define int long long
using namespace std;
int n,K,maxn,ans;
int s[N];
int f[MAXN][N];
bool check(int x,int y) {
	return abs(s[x]-s[y]) > K;
}
signed main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&K);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&s[i]);
	maxn = (1<<n) - 1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		f[(1<<(i-1))][i] = 1;
	for(int i=1;i<=maxn;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
		{
			if(f[i][j])	continue;	//避免覆盖预处理
			if(!(i & (1<<(j-1))))	continue;
			int state = i ^ (1<<(j-1));
			for(int l=1;l<=n;++l) {
				if(l == j)	continue;
				if(check(j,l)) f[i][j] += f[state][l];
			}
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		ans += f[maxn][i];
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}

(19.) ( exttt{P4744 [Wind Festival]Iron Man})

题目链接

( exttt{题解})

这道题是ygt大佬推给我的

~~方程一遍推对好开心!~~

题意：给出一段环状序列，即认为(A_1)和(A_n)是相邻的，选出其中连续不重叠且非空的K段使得这K段和最大。

环形分段最大子段和

定义状态： (f[i][j][1/0]) 表示 i位置分j段当前位置选不选的最大和

转移方程： (f[i][j][1] = max{ f[i-1][j-1][1] , f[i-1][j-1][0] , f[i-1][j][1] }) (&& j>=1)

(f[i][j][0] = max{ f[i-1][j][1] , f[i-1][j][0] })

环形处理：两次DP，一次不连接，一次强制选 1,n.

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define Max(a,b,c) max(max(a,b),c)
using namespace std;
const int N = 2e5+7;
int n,K=2,ans;
int a[N];
int f[N][57][2];	//f[i][j][val]表示 i位置 分j段 当前选不选 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	memset(f,128,sizeof(f));	//初始极小化
	f[0][0][0] = f[0][0][1] = 0;	//不强制选1，n
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=K;++j)
		{
			if(j>0)	f[i][j][1] = Max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][0])+a[i];
			f[i][j][0] = max(f[i-1][j][1],f[i-1][j][0]);
		}
	ans = max(f[n][K][1],f[n][K][0]);
	memset(f,128,sizeof(f));
	f[1][0][1] = a[1];	//选1，且不能单独列为一段，强制与n结合 
	for(int i=2;i<=n;++i)
		for(int j=0;j<=K;++j)
		{
			if(j>0)	f[i][j][1] = max(f[i-1][j-1][1],f[i-1][j-1][0])+a[i];
			f[i][j][1] = max(f[i][j][1],f[i-1][j][1]+a[i]);
			f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]);
		}
	ans = max(ans,f[n][K][1]);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(20.) ( exttt{P1108 低价购买})

题目链接

( exttt{题解})

是一道好题目，求最长下降子序列和方案总数

显然不是最长下降子序列那么简单

看到 n<=5000 的数据范围可以考虑 O(n2) 的DP求最长下降子序列，因为这样我们可以使用一些DP过程中的可利用条件

设(f[i])为以 (i) 最长下降子序列的长度，(t[i])为以 (i) 结尾且长度为(f[i])下降子序列方案总数

思考：

我们求(f[i])的时候是每一次从前面的状态转移，如果(f[i]) 是由 (f[j])转移而来 ((j<i)) 那么(t[i])是不是可以由(t[j])转移过来呢？可以，即 if(f[i]==f[j]+1&&a[i]<a[j]) t[i]+=t[j] (j<i)

当一个最长下降子序列长1时，也就是说只包含他自己，方案为数也为1 ，即 if(f[i]==1) t[i] = 1;

考虑两个子序列相同，如序列：

编号 01 02 03 04 05 06 07

(a_i)[ ] 68 69 98 74 64 68 64

3,4,5 和 3,4,7 组成的序列一样，编号却不同，如何避免重复计算呢？

例如在求7这里，我们可以把 t[5] = 0; 方案数清空，删除这个序列。t[7]又能从t[4]这里继承方案数即 if(f[i]==f[j]&&a[i]==a[j]) t[j]=0; (j<i)

( exttt{Code})


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 5007
using namespace std;
int n,maxx,sum;
int a[N],f[N],t[N];	//t[i]存以i结尾的最长下降子序列的方案 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		f[i] = 1;
		for(int j=1;j<i;++j)
			if(a[i]<a[j]) f[i] = max(f[i],f[j]+1);
		if(f[i]==1)	t[i] = 1;	//自己也算一种方案 
		maxx = max(maxx,f[i]);
		for(int j=1;j<i;++j) {
			if(f[i]==f[j] && a[i]==a[j])	//相当于同一种序列 
				t[j] = 0;					//前一个序列没有了 ， 这一个方案又可以用相同的方式加回来 
			else if(f[i]==f[j]+1 && a[i]<a[j])
				t[i] += t[j];				//可以从上一个状态加上来 
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(f[i]==maxx)	sum += t[i];	//加最长的方案
	printf("%d %d
",maxx,sum);
	return 0; 
}

(21.) ( exttt{P1136 迎接仪式})

题目链接

( exttt{题解})

一次交换即j变z ，z变j

定义f[i][a][b] 表示i位置把a个j变z b个z变j

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 507
#define M 107
#define INF 0x3f3f3f
using namespace std;
int n,K;
int f[N][M][M];	//有a个j变z ，b个z变j 
char s[N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&K);
	cin>>s+1;
	memset(f,128,sizeof(f));						//赋极小值，取max 
	f[0][0][0] = f[1][0][0] = f[1][s[1]=='j'][s[1]=='z'] = 0;	//显然1不变为0 ，变也为0
	for(int i=2;i<=n;++i) {
		for(int a=0;a<=K;++a)
			for(int b=0;b<=K;++b) {
				f[i][a][b] = f[i-1][a][b];
				if(s[i-1]=='j' && s[i]=='z')
					f[i][a][b] = max(f[i][a][b],f[i-2][a][b]+1);
				if(a && s[i]=='j' && s[i-1]=='j')
					f[i][a][b] = max(f[i][a][b],f[i-2][a-1][b]+1);
				if(b && s[i]=='z' && s[i-1]=='z')
					f[i][a][b] = max(f[i][a][b],f[i-2][a][b-1]+1);
				if(a && b && s[i-1]=='z' && s[i]=='j')
					f[i][a][b] = max(f[i][a][b],f[i-2][a-1][b-1]+1);
			}
	}
	int ans = -INF;
	for(int i=0;i<=K;++i)
		ans = max(ans,f[n][i][i]);
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}

(22.) ( exttt{P1169 [ZJOI2007]棋盘制作})

题目链接

( exttt{题解})

悬线法

( exttt{Code})

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define N 2007
using namespace std;
int n,m,ans1,ans2;
int le[N][N],ri[N][N],up[N][N];
bool map[N][N];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j) {
			scanf("%d",&map[i][j]);
			le[i][j] = ri[i][j] = j;
			up[i][j] = 1;
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=2;j<=m;++j) {
			if(map[i][j-1] != map[i][j])
				le[i][j] = le[i][j-1];	//Ïò×óÑÓ³¤ 
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=m-1;j>=1;--j) {
			if(map[i][j+1] != map[i][j])
				ri[i][j] = ri[i][j+1];
		}
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j) {
			if(i>1 && map[i-1][j]!=map[i][j]) {
				up[i][j] = up[i-1][j] + 1;
				le[i][j] = max(le[i-1][j],le[i][j]);
				ri[i][j] = min(ri[i-1][j],ri[i][j]);
			}
			int a = ri[i][j] - le[i][j] + 1;
			int b = up[i][j];
			int c = min(a,b);
			ans1 = max(ans1,c*c);
			ans2 = max(ans2,a*b);
		}
	printf("%d
%d
",ans1,ans2);
	return 0;	
}

未完待续...

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原文地址：https://www.cnblogs.com/BaseAI/p/11257723.html

动态规划学习

动态规划学习

前言

引用 _皎月半撒花大佬的一段话

推荐（大佬的blog）

<什么是动态规划> —— by知乎大佬

<入门DP总结> ——by henry_y大佬

<DP专题练习> ——by henry_y大佬

<DP有哪些种类> —— by 范仁义

<树形DP入门6题> —— by seaupnice

正文（这是我的qwq）

([序号].) ( exttt{[ 标题 ]})

(1.) ( exttt{P1040 加分二叉树})

(2.) ( exttt{P1133 教主的花园})

(3.) ( exttt{P1122 最大子树和})

(4.) ( exttt{P1336 最佳课题选择})

(5.) ( exttt{P1353 [USACO08JAN]跑步Running})

(6.) ( exttt{P1982 小朋友的数字})

(7.) ( exttt{P2733 家的范围 Home on the Range})

(8.) ( exttt{P2734 游戏 A Game})

(9.) ( exttt{P2736 “破锣摇滚”乐队 Raucous Rockers})

(10.) ( exttt{P2854 [USACO06DEC]牛的过山车Cow Roller Coaster})

(11.) ( exttt{P1005 矩阵取数游戏})

(12.) ( exttt{P1352 没有上司的舞会})

(13.) ( exttt{P2014 选课})

(14.) ( exttt{P1854 花店橱窗布置})

(15.) ( exttt{P2732 商店购物 Shopping Offers})

(16.) ( exttt{P2948 [USACO09OPEN]滑雪课Ski Lessons})

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(21.) ( exttt{P1136 迎接仪式})

(22.) ( exttt{P1169 [ZJOI2007]棋盘制作})

未完待续...

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未完待续...

引用 _皎月半撒花大佬的一段话

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正文（这是我的qwq）