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公平组合游戏 ICG
一个游戏满足以下条件时被叫做公平组合IGC游戏
- 两名玩家交替行动。
- 游戏进程的任意时刻，可以执行的操作和操作者本人无关。
- 不能行动的玩家判负，不存在平局。
本蒟蒻的理解：公平组合游戏都可以转化为博弈论问题来解决。例如经典的 “NIM游戏”，“有向图游戏” 都是公平组合游戏。类型的问题也可以转化成前两种模型解决。
NIM游戏
定理：
- NIM游戏先手必赢，当且仅当 (A_1 mathrm{xor} A_2 mathrm{xor} ... mathrm{xor} A_n ≠ 0)。
证明：
最后所有石子都取完是必败态，此时 (mathrm{xor}) 和为 (0)。
由此可以推得必败态的上一个状态 (mathrm{xor}) 和不为 (0)。
对于一个任意 (mathrm{xor}) 不为 (0) 的状态，令 (x=sum{mathrm{xor}} A_i)，假设 (x) 的最高位为 (k)，那么一定存在 (A_j) 的第 (k) 也为 (1)，在 (A_i) 中取走 (A_i-A_i mathrm{xor} x) 颗石子（即剩下 (A_i mathrm{xor} x) 颗石子），则操作后的状态异或和为 (0)。
对于任意一个 (mathrm{xor}) 和为 (0) 的状态，无论怎么选取，下一个的状态的异或和必定不为 (0)。
重复以上操作，根据数学归纳法，初始状态 (mathrm{xor}) 和不为 (0)，先手必胜。
证毕。
有向图游戏
给定一张有向无环图，初始在起点 (s) 处放一枚棋子。每一回合玩家可以向出边移动一步，不能移动者失败。问是否有先手必赢策略？
想要解决这个问题，我们首先要引入 (mathrm{mex}) 运算和 (SG) 函数。
(mathrm{mex}) 运算
(mathrm{mex}) 运算是求一个集合里面没有的最小非负整数，用数学语言表达即（(N) 是自然数集）：
(SG) 函数
（特指有向图游戏）在有向图游戏中，对于每个结点 (x)，其 (SG) 函数为：
（(y_i,1 le i le k) 是 (x) 的 (k) 条出边的第 (i) 条出边所指向的点）
可以发现，(SG) 函数是递归定义的。(SG) 函数的终点即为不可移动的点，因为没有出边，所以不可移动的点的 (SG) 函数等于 (0)。
特别的，一个有向图游戏 (G) 的 (SG) 函数是该有向图的起点 (s) 的 (SG) 函数，即 (SG(G) = SG(s))。
回到有向图游戏，对于这个游戏，有一个定理。
定理：
- 有向图游戏先手必赢，当且仅当 (SG(G) eq 0)。
对于该定理的证明，可以结合 (SG) 函数意义和数学归纳法进行证明。过程比较简单，留给读者自行证明。
多个有向图游戏
（并不知道有什么专业名称） 类似于NIM游戏与有向图游戏的相结合。
定义多个有向图游戏 (G_1,G_2,...,G_n)，每一回合玩家可以在任意一个有向图游戏 ((G_i,1 le i le n)) 上移动一步，不可移动者失败。问先手是否有必赢策略？
定理
- 多个有向图游戏先手必赢，当且仅当 (SG(G_1) mathrm{xor} SG(G_2) mathrm{xor} ... mathrm{xor} SG(G_n) eq 0)。
关于该定理的证明，读者可以在自主完成上一定理的证明后，结合NIM游戏定理的证明，感性理解一下。（因为我也不会呀qwq）
题目
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变形
每次取 ([1,x]) 的 NIM 游戏
题目大意： (n) 堆石子，第 (i) 堆石子有 (a_i) 个，给定 (x)，每次可以取 ([1,x]) 个石子，问先手是否必胜。
结论： 若 (igopluslimits_{i=1}^n (a_i \% (x+1)) ot = 0) 则先手必胜，否则先手必败。
感性理解一下：对于某一堆石子 (a_i)，当 (a_i>(x+1))，后手取掉一个数 (y in [1,x+1))，先手可以取一个数 (z)，满足 (z=x+1-y)，(z) 一定是可以取到的（也就是说(zin [1,x+1))），则 (a_i) 变为了 (a_i - (x+1))，以此类推，该堆石子变为 (a_i\%(x+1)) 时，这堆石子就可以取任意数了。推广到每一堆石子，就转化成了 NIM 游戏。