线性dp小总结

前言

2020暑假，回归OI。这两个dp难度比较低，但有一定价值，写个归纳总结。

线性dp小总结（优化）

洛谷P4933 大师

题目地址

看懂题目后，容易列出dp方程：

• (f(i,j)) 表示以 (i) 结尾，公差为 (j) 的等差数列方案数。

[f(i,j) = sum_{{k | h_i - h_k = j}} f(k,j) ]

状态是 (O(n^2)) 的，转移是 (O(n)) 的，我们必须有一些优化。发现转移就是要对 (i) 前面所有满足 (h_k = h_i - j) 的 (f(k,j)) 求和。

于是我们枚举公差 (j)：

• 令函数 (g(x) = sum_{{k|h_k=x,k<i}} f(k,j))

• 则有 (f(i,j) = g(h_i-j))

(g(x)) 可以在dp的过程中累积，转移便优化成了 (O(1))

总结：对于dp转移过程中如果遇见了求和，试着发现求和式子的规律，设计函数（并且该函数可以在dp过程中累积），从而降低转移的复杂度。

洛谷 P5858 「SWTR-03」Golden Sword

题目地址

看懂题目后，容易列出dp方程：

• (f(i,j)) 表示以 (i) 结尾，当前原材料为 (j) 的最大耐久度

[f(i,j) = max_{j-1 le k le j+s} { f(i-1,k) } + a_i*j ]

状态是 (O(n^2))，转移是 (O(n))，我们必须有一些优化。试着模拟 (j) 的枚举，发现 (j) 在 (0 le j le w) 移动的过程中 ([j-1,j+s]) 也在向右移动。我们需要的就是这个移动区间的最大值。至此，我们发现这个转移可以使用单调队列实现 (O(1)) 转移。

如果在dp转移过程中遇见了求最值，试着发现最值区间的变化规律，尝试利用数据结构优化，从而降低转移的复杂度。