[洛谷] OSU!（期望DP）

Problem

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Solution

• 期望的线性性质

设 (f[i]) 表示以 (i) 结尾的连续 (1) 区间的期望贡献（(x^1)），(g[i]) 表示以 (i) 结尾的连续 (1) 区间的期望贡献（(x^2))，则有：

[f[i]=p_i(f[i-1]+1) ]

[g[i]=p_i(g[i-1]+2f[i-1]+1) ]

（因为 ((x+1)^2=x^2+2x+1)）

类似的，可以设 (h[i]) 表示以 (i) 结尾的连续 (1) 区间的期望贡献（(x^3)），则有 (h[i]=p_i(h[i-1]+3g[i-1]+3f[i-1]+1))（因为 ((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1)）。由于不方便统计答案（直接加上去会有一些 ("1") 重复计算贡献），我们又可以根据期望的线性性质：

[E((x+1)^3) = E(x^3)+E(3x^2+3x+1) ]

计算每个位置上 (1) 的对答案增加的期望贡献。位置 (i) 上选 ("1") 对答案增加的期望贡献是：(p_i(3g[i-1]+3f[i-1]+1))，所以最后的答案是：

[sum p_i(3g[i-1]+3f[i-1]+1) ]

时间复杂度 (O(n))。

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
const int N = 100007;
int n;
double p[N],f[N],g[N],h[N];
int main()
{
	n = read();
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&p[i]);
	double ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		f[i] = p[i] * (f[i-1] + 1);
		g[i] = p[i] * (g[i-1] + 2*f[i-1] + 1);
		ans += p[i] * (3*g[i-1] + 3*f[i-1] + 1);
	}
	printf("%.1lf",ans);
    return 0;
}
/*
3 
0.5 
0.5 
0.5

6.0
*/

Summary

主要是期望的线性性质。注意想当然地加会重复计算贡献（自己手推一下会发现），要计算每个位置增加的期望贡献。