【BZOJ2338】【HNOI2011】数矩形 [计算几何]

数矩形

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　最近某歌手在研究自己的全国巡回演出，他将所有心仪的城市都用平面上一个点来表示，并打算从中挑选出4个城市作为这次巡回演出的地点。
　　为了显示自己与众不同，他要求存在一个矩形使得挑选出的4个点恰好是这个矩形的4个顶点，并且希望这个矩形的面积最大。
　　这可急坏了经纪人，于是他向全球歌迷征集方案，当然你这位歌迷一定不会错过这个机会。

Input

　　第一行是一个正整数N，表示平面上点的个数（即某歌手心仪的城市数）。
　　接下来N行，每行是两个整数Xi,Yi，表示对应点的坐标。

Output

　　输出一个数，表示最大矩形面积。

Sample Input

　　8
　　-2 3
　　-2 -1
　　0 3
　　0 -1
　　1 -1
　　2 1
　　-3 1
　　-2 1

Sample Output

HINT

　　1<=N<=1500 , -10^8<=Xi,Yi<=10^8

Main idea

　　给出平面上的若干个点，求出可由这些点作为顶点构成的矩形的最大面积。

Solution

　　显然是一道计算几何题。
　　先考虑矩形的特征：对角线长度相同并且对角线的中点在同一位置。
　　然后我们可以n^2枚举出所有对角线的长度并且求出其中点位置，按照长度为第一关键字，中点坐标为第二关键字sort一遍，那么显然可构成矩形的四个点的对角线一定是连续的。
　　然后我们枚举所有情况，用矢量叉积来求矩形的面积。
　　证明一下复杂度：发现最坏情况应该是所有的中点聚集在同一个点上，以其作为圆心，对角线长度作为直径拓展出成为一个圆，这样的话会有1500/2条长度相同的需要枚举的边，但是由于这是一个圆，所以两点连线不作为直径的构成的边几乎都是不需要枚举的，复杂度正确。

Code

  1 #include<iostream>  
  2 #include<algorithm>  
  3 #include<cstdio>  
  4 #include<cstring>  
  5 #include<cstdlib>  
  6 #include<cmath>
  7 #include<queue>
  8 using namespace std;  
  9         
 10 const int ONE=1505;
 11  
 12 int n;
 13 int cnt,num;
 14 int l[ONE*ONE],r[ONE*ONE];
 15 long long Ans;
 16  
 17 struct power
 18 {
 19         long long x,y;
 20 }a[ONE];
 21  
 22 struct point
 23 {
 24         long long dist;
 25         int i,j;
 26         power mid;
 27 }b[ONE*ONE];
 28  
 29 int cmp(const point &a,const point &b)
 30 {
 31         if(a.dist<b.dist) return 1;
 32         if(a.dist>b.dist) return 0;
 33         if(a.dist==b.dist)
 34         {
 35             if(a.mid.x<b.mid.x) return 1;
 36             if(a.mid.y<b.mid.y) return 1;
 37         }
 38         return 0;
 39 }
 40  
 41 int get()
 42 {
 43         int res,Q=1;    char c;
 44         while( (c=getchar())<48 || c>57)
 45         if(c=='-')Q=-1;
 46         if(Q) res=c-48; 
 47         while((c=getchar())>=48 && c<=57) 
 48         res=res*10+c-48; 
 49         return res*Q; 
 50 }
 51  
 52 long long Get_dist(power a,power b)
 53 {
 54         return (a.x-b.x)*(a.x-b.x) + (a.y-b.y)*(a.y-b.y);
 55 }
 56  
 57 long long Get_area(power a1,power a2,power b1,power b2)
 58 {
 59         long long x1=a2.x-a1.x, y1=a2.y-a1.y;
 60         long long x2=b2.x-b1.x, y2=b2.y-b1.y;
 61         return abs( (x1*y2)-(x2*y1) );
 62 }
 63  
 64  
 65  
 66 void Deal()
 67 {
 68         for(int k=1;k<=num;k++)
 69         {
 70             if(l[k]==r[k]) continue;
 71             for(int i=l[k];i<=r[k];i++)
 72             for(int j=i+1;j<=r[k];j++)
 73             {
 74                 Ans=max(Ans,Get_area( a[b[i].i],a[b[i].j] , a[b[j].i],a[b[j].j]) );
 75             }
 76         }
 77 }
 78  
 79 int main()
 80 {
 81         n=get();
 82         for(int i=1;i<=n;i++)
 83         {
 84             a[i].x=get();   a[i].y=get();
 85         }
 86          
 87         for(int i=1;i<=n;i++)
 88         for(int j=i+1;j<=n;j++)
 89         {
 90             b[++cnt].dist=Get_dist(a[i],a[j]);
 91             b[cnt].mid.x=(a[i].x+a[j].x);
 92             b[cnt].mid.y=(a[i].y+a[j].y);
 93             b[cnt].i=i; b[cnt].j=j;
 94         }
 95          
 96         sort(b+1,b+cnt+1,cmp);
 97          
 98         int i=0;
 99          
100         while(i<=cnt)
101         {
102             i++;
103             l[++num]=i;
104             while(b[i].dist==b[i+1].dist && b[i].mid.x==b[i+1].mid.x && b[i].mid.y==b[i+1].mid.y && i<=cnt)
105             {
106                 i++;
107             }
108             r[num]=i;
109         }
110          
111         Deal();
112         printf("%lld",Ans/2);
113          
114 }

View Code