【网络流】最大流等于最小割

【网络流】最大流等于最小割

将网络流想象成是一张地下水管道的管道图。

而所有的在管道中流淌的水是起源同一个点，称这个点为源点，而这些水最终都会汇聚于同一点，这个点被称为汇点。

而每条管道都会有一个容量上限，而这个容量是必然会大于或等于（满载）流经这条管道的实际流量的（就好像杯子只能装不超过杯子容量的水一样）。

• 流量小于等于容量，容量大于等于流量

  • 推论：

    1. \(\sum_{i=1}^{n}流量i<=\sum_{i=1}^{n}容量i\)

    2. \(\sum_{i=1}^{n}容量i>=\sum_{i=1}^{n}流量i\)

    (流量i和容量i都是一一对应的，都是属于管道i的两个属性)

不管大小，从源点通过管道流向汇点的水的总量叫做流，而在这些可以的流中，总量最大的叫做最大流。

而我们不妨规定摧毁一条管道的代价为这条管道的容量，那么我们可以在所有管道中选取一定量的管道进行摧毁的话，并且保证在来自源点的水再也无法流到终点，且在中途过程中就全部泄漏干净了，这样的话就说这是割。

而注意一下，一侧的管道是可以接受到来自源点的水，而另一侧的管道是虽然是没有有水经过的，但如果是”老鼠“（举个例子）在这些管道中行走，最终还是可以走到终点（汇点）。

同时规定可以接受到水的点（管道的两端）为集合S，能走到汇点的点为集合T。

所以，更准确的来讲，割是一个对图的一个划分，而划分的结果会产生两个关于点的集合，且一个割的大小为其砍去所有的边的容量和。而在所有的割里面按大小去挑一个最小的就为最小割

证明：最大流等于最小割

证明分三步走

1. 第一步：任意一个流都小于等于任意一个割。

   就好像杯子只能装不超过杯子容量的水一样

2. 第二步：构造出一个流等于一个割

   最大流之所以是最大流，可以换某种角度来思考，就是在当前的网络中没有办法再扩充流量了（反证：如果还有，就必然有大于当前状态的流量，而当前状态的流就不应该叫做最大流），而从微观的角度来看，是在这张网络图中，存在一定数量的边，它的流量恰好达到它的容量上限，而不妨，我们可以拿着这些割边去作为割的依据去形成一个割。

   而此时我们就构造出一个等于最大流的一个割。

   \(flow_{max}=cut_k\)

3. 第三步：

   结合我们已经举出的第一步

   我们有

   \(flow_{max}<=cut_i\),\(cut_i\)为任意一种割

   且\(cut_{k}>=flow_i\),f\(flow_i\)为任意一种流

   结合一下，我们有

   \(flow_i<=cut_{k}=flow_{max}<=cut_i\)

   提取部分，会发现

   \(cut_k<=cut_i\)

   因而\(cut_k\)就是所有\(cut\)中最小的，就是最小割,\(cut_k=cut_{min}\)

因而，最大流等于最小割得证。