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  • 浅谈高中生物”碱基对确定,求DNA最多种数”问题

    前言

    这个问题在高中生物中,并不会研究的那么深刻。

    所以正式做题时还是应该按照老师的教导,避开这个“雷区”。

    1.问题发现

    在高中生物-遗传与进化-基因的本质学习中,有一个十分经典的问题。

    即:给定碱基对数n,不限定每种碱基(A,C,G,T)的个数,求出最多的DNA种数。

    在所有的教材,辅导书,以及老师的授课过程中,对于这个问题的答案,一般都是(4^{n})或者$ frac {4^n} {2}$。

    对于(4^n)的思路,即每个位置有(4)种碱基对可能,一共有(n)组,根据乘法原理,故为(4^{n})

    对于(frac {4^n} {2})的思路,即在上一种思路的基础上,考虑到有重复的情况,便除了个2​。

    但是,@thorn,@opethrax以及本人的对于这些答案深感怀疑,于是我们便手算了当碱基对数为(2)时的所有情况。

    利用计算机程序进行打表,以及查询有关(DNA)的资料后,最终我们确定当n=2时,结果理应为10​。

    这个答案都不能用上面的公式解答,于是我们继续思考探索。

    2.深入探究

    通过@opethrax同学辛苦的打表,观察,他发现存在一些情况被忽略。

    原先我们认为,一个(DNA)分子拥有(3')(5')段,(3)代表三号碳,(5)代表五号碳。

    如下图,从两条链的(3')端分别扫描,一种序列最多被统计到(2)次。

    图一

    一个是AGCTA​,另一种是TAGCT。

    但是,存在一种(DNA)分子,从其两条链的(3')端分别扫描,结果相同。

    如下图:

    都为TCGATCGA。

    所以这种情况下,具有这种性质的(DNA)会被少统计一次。

    且我们不难发现,满足这种性质当且仅当(DNA)链的长度为偶数(如图一,若为奇数,会出现不对称的情况,即不满足这种性质)。

    那么我们分类讨论,之前那个(frac {4^n} {2})的公式,可以在n​为奇数时使用。

    对于n​为偶数的情况,我们要在原公式的基础上,加上少统计的个数。

    现在的问题,即是寻找拥有这种特殊性质的链的个数。

    不难发现,一条链的(3')端的(1)号碱基到该链的第(frac n 2)号碱基,如果和另一条链的(3')端的(1)号碱基到该链的第(frac n 2)号碱基相同,剩下的部分通过碱基互补配对原则,可以保证相同。

    下图黑的部分是我们自己确定的一条排列,红色部分是根据碱基互补配对原则形成的。

    我们可以把这个理解为一种中心对称。

    所以我们只需要构造出一条链中一半的排列,然后按照中心对称放到另一条链的(3')端,剩下那条按照碱基互补配对原则填充即可满足这种性质。

    所以我们不难得出,这种情况下,会有(4^{frac {n}{2}})条链会被少统计一次。

    至此,我们可以得出公式:

    [a_n=egin{cases}frac{4^n}{2} n=2k+1\frac{4^n+4^{frac{n}{2}}}{2} n=2k (kin N^*)end{cases} ]

    这个式子经过打表以及oeis.org的确认,结果正确。

    3.声明与感谢

    其实(DNA)的结构远比人类脑海中想象的要复杂的多,这里我们只是讨论了理论下的情况。

    感谢您的阅读。若您存在任何疑问,或觉得我们有些地方存在纰漏,欢迎您联系我们,我们十分乐意与您探讨。

    再次感谢两位同学@thorn,@opethrax深夜的探讨与陪伴,若没有他们的帮助,我们很难单独进行下去。

    thorn有关这篇文章的链接:https://www.cnblogs.com/thornblog/p/12381381.html

    opethrax有关这篇文章的链接:https://home.cnblogs.com/u/opethrax/

    他们两位有关这个内容的博客写的都非常优秀,建议您去访问他们的博客以进行更多的了解。

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    4.深夜随想

    造物主强大的力量是人们无法想象到的。人类很难走到没有任何疑惑的那一天。

    每一个个体脑中冒出的新奇想法,或提出的一个问题,都有可能成为筑起人类从无知到有知的桥梁下的一粒石子。

    对科学的探索,不是浅尝辄止,而是无穷无尽。

    献上一首不错的音乐:

    “生于此处却不知此处

    日光倾城,万物生长,又是为何

    若没有大地的拥抱,我们早已消失于茫茫宇宙之中

    若没有原子之稳定,我们亦不复存在

    无人问天地变换,斗转星移,是为何故

    宇宙又是源于何处

    它是否无始无终

    时间若愿意倒流,我们的认知是否还会有局限

    世间最渺小之物又是什么

    滚滚长江,却只留有过去,不知未来

    浩淼宇宙,为何我们在此相遇”
    ——《Moonlight》

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