树与二叉树之二--二叉树的性质与存储

• 二叉树的定义

  1）每个节点最多只有两颗子树，即二叉树中结点的度只能为0、1、2；
  2）子树有左右之分，不能颠倒。

  二叉树的五种基本状态：
  1）空二叉树
  2）只有根节点
  3）只有左子树，右子树为空
  4）只有右子树，左子树为空
  5）既有左子树，又有右子树

  满二叉树： 所有的分支结点都有左孩子和右孩子结点，并且叶子结点都集中在二叉树的最下一层
  完全二叉树： 通俗的说，一颗完全二叉树一定是由一颗满二叉树从右至左从下至上，挨个删除结点所得到的。

• 二叉树的主要性质

  • 性质1： 非空二叉树上叶子结点数等于双分支结点数加1. 即：n0=n2+1

    推导过程 根据两个公式（n0表示度数为0的节点 n2表示度数为2的节点）

    1）n=n0+n1+n2 n表示二叉树中的节点总个数,n1表示度数为1的节点个数
    2）n-1=2n2+n1 通过观察二叉树我们可知，除了根节点之外，其余的任何节点都有一个入口分支，那么节点的总分支数等于节点个数减一。度数为2的节点有2个出口分支，度数为一的有1个出口分支，度数为0的节点没有出口分支 所以总的分支个数为 2n2+n1

  • 性质2： 二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点

  • 性质3： 高度（或深度）为k的二叉树最多有2^k-1个结点（k>=1）

  • 性质4： 有n个结点的完全二叉树，对各结点从上到下、从左到右依次编号（范围为1~n），各节点之间有如下关系：

    (1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点;
    (2) 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；
    (3) 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

  • 性质5： 具有n个结点的完全二叉树的高度（或深度）为[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。

• 二叉树的存储结构

  1. 顺序存储

     　顺序存储结构即用一个数组来存储一个二叉树，这种存储方式最适合于存储完全二叉树，而用于存储一个非完全二叉树则会浪费很多空间。
     　将这种存储结构要求数组下标从１开始存储树中的结点，这样下标就可以表示二叉树中结点的编号（如性质中所说，从上到下、从左到右编号为1~n），而数组中的内容表示结点的内容。这样，结点之间的关系就可以用下标来表示，下标满足性质4。如下图中的完全二叉树，假设数组为a，如果已知结点A的下标为1，要想访问其左子结点B，只需直接访问a[1*2]即可。类似的，如果已知某结点编号为i，要想访问其右子结点，如果2i+1不大于n，则其右子结点为a[2i+1]。

      

     

     
     

      

      

  • 二叉树的顺序存储与树的顺序存储
    　
    　需要注意的是，树的顺序存储结构与二叉树的顺序存储结构的区别。在树的存取结构中下标表示的是结点的编号（这点与二叉树相同），不同是下标上所指的内容，在前边我们说过树的顺序存储中，数组中的内容表示的是其双亲结点的位置，也就是树结点之间的关系；而在二叉树的顺序存储中我们的下标虽然也是结点的编号，但同时也可以用编号找到其子结点或双亲结点，而数组的内容表示的是结点保存的内容。也就是说二叉树的顺序存储中，数组的下标既表示结点的编号，也指示了结点间的关系。

    #define Maxsize 100     //假设一维数组最多存放100个元素
    typedef char Datatype;  //假设二叉树元素的数据类型为字符
    typedef struct
    { 
    	Datatype bt[Maxsize];
    	int btnum;
    }Btseq;
    

  2. 链式存储

     链式存储是我们在树和二叉树的存储中最常见的存储结构，即对于每个结点用一个链结点来存放，结点内容包括结点的数据域和两个指针域，其中指针分别指向其左子结点和右子结点。其他这里就不多赘述了。以下为结点的类型定义：

     struct BinaryTreeNode 
     {
      	int m_nValue; 
      	BinaryTreeNode*  m_pLeft;  
      	BinaryTreeNode*  m_pRight; 
     };
     

  以上，参考文章二叉树的存储结构.