斐波那契数列及其变形

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• 题目描述：

写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。

• 分析：

  斐波那契数列在递归的学习时经常被拿来做例子，当剑指offer上看到这个题的时候，我就直接用递归写了，然后发现了问题，调用栈空间太多。这就是递归方法的一个缺陷，虽然简单容易理解，然而效率上却为难了计算机。所以还是以循环来实现：

  long long Fibonacci(unsigned int n)
  {
  	int result[2] = {0,1};
  	if(n < 2)
  		return result[n];
  	// 当n>2时
  	long long first = 1;
  	long long second = 0;
  	long long fib = 0;
  	for(unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
  	{
  		fib = first + second;
  		second = first;
  		first = fib;
  	}
  	return fib;
  }
  

  其实斐波那契数列的循环实现很容易写出来，就根据斐波那契的定义来写就好了：第n项为其前两项的和，只要从头开始求每一项向后推就可以得到结果。

变形1：下边是斐波那契数列的一个变形，青蛙跳台阶。

• 题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

• 分析：

  其实和斐波那契函数是一个道理，如果一次它想跳到第n级台阶，因为一次只能跳一级或者两级，所以它一定是从第n-1级台阶，或者是n-2级台阶跳上来的，所以可以分解为求f(n-1)+f(n-2)。
  代码：

  class Solution {
  public:
  	int jumpFloor(int n) {
      	int result[2] = {1,2};
      	if(n < 3 && n > 0)
          	return result[n-1];
      
      	int first = 2;
      	int second = 1;
      	int fib = 0;
      	for(int i = 3; i <= n; ++i){
         		fib = first + second;
      		second = first;
      		first = fib;
    		}
      	return fib;
  	}
  };
  

变形2：

• 题目描述：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

• 分析：

  我这种凡人，只想到了凡人的方法。。
  每个台阶都可以直接跳上去，也可以从前边每个台阶跳上来。所以每个台阶的可能性都是把其前边所有台阶的可能性加起来，再加1（就是直接跳上去的可能性）。

  f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+...+f(1)+1；
  f(n-1) = f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)...+f(1)+1
  两式相减，得到f(n) = 2f(n-1);
  好吧，等比数列，f(n) = 2^(n-1)

  接下来是牛客上看到的，大神的思路：

  每个台阶都有跳与不跳两种情况（除了最后一个台阶），最后一个台阶必须跳。所以共用2^(n-1)中情况

  不得不说言简意赅，跟我等找规律的不一样。

  再接下来是代码，我的思路：

  class Solution {
  public:
  	int jumpFloorII(int number) {
  		if(number > 0){
  		// 用一个长度为number的vector把每一级台阶的可能性都记录下来
  			vector<int> v(number,0);
  			v[0]=1;
  		// 每个台阶都是把其前边所有台阶的可能性加起来再加一
  			for(int i = 1; i < number; ++i){
  				for(int j = 0; j < i; ++j){
  					v[i] += v[j]; 
  				}
  				++v[i];
  			}
  			return v[number-1];
  		}
  		else
  			return 0;
  	}
  };
  

  又有一行代码解决问题的大神：

  // 1左移number-1位，即2^(number-1)
  return 1 << --number;
  

变形3：

• 题目描述：

我们可以用2x1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2x1的小矩形无重叠地覆盖一个2xn的大矩形，总共有多少种方法？

• 分析：

  举例观察可知还是斐波那契

  class Solution {
  public:
  	int rectCover(int number) {
  		if(number < 1)
  			return 0;
  		
  		int result[2] = {1,2};
  		if(number < 3)
  			return result[number-1];
  		
  		int first = 2;
  		int second = 1;
  		int num = 0;
  		for(int i = 3; i <= number; ++i){
  			num = first + second;
  			second = first;
  			first = num;
  		}
  		return num;
  	}
  };