题目大意：一个$N imes N$的阵列，每个格子有$X_{ij}$个调和之音，若每次只能选择走右边或下边，从左上角出发走到右下角，问最多能收集到多少个调和之音？
这题是一道很很很简单的DP题，但可能之前没接触过的同学需要一点脑能量去思考。。如果用最蠢的办法，循环枚举每种选择，求出最大值的话，由于你总共需要往右走$N-1$次，往下走$N-1$次，路径总长度为$2N-2$，根据组合数学，总共有$C_{2N-2}^{N-1}$种走法，想想$C_{1998}^{999}$会是一个多么可怕的数字，不用说这铁定是会超时的，而且铁定会超到地老天荒。怎么办呢？
有的同学可能会考虑：能不能用贪心算法做呢？即每次只有两个选择，我每次都选择最大的那个，那么最终得到的结果是否在整体上是最大的呢？很遗憾这是错的，因为你每次只能往右或往下走，走当前的最大步无法证明走过最小步后，不会产生一条更大的路径。以上两种方案详细的分析参见51Nod - 动态规划入门篇 - 矩阵取数问题（注意先注册登录）。
因此这题非DP不可了，考虑当前格子$X_{ij}$，它要么从$X_{i-1,j}$走过来，要么从$X_{i,j-1}$走过来，因此我只需要做两次循环，给每个格子判断一下从左边来的值更大，还是从上边来的值更大，然后跟这个格子的值相加，这样对于每个格子来说，它的值一定是从左上角到这个格子的最大值。在读入数据的时候就可以计算了。时间复杂度$O(N^2)$，空间复杂度$O(N^2)$。
1 #include <stdio.h> 2 3 inline int max(int&a, int&b) { 4 return a>b?a:b; 5 } 6 7 int T, N, mat[1001][1001]; 8 int main() { 9 scanf("%d", &T); 10 while(T--) { 11 scanf("%d", &N); 12 for(int i=1; i<=N; i++) 13 for(int j=1; j<=N; j++) { 14 scanf("%d", mat[i]+j); 15 mat[i][j]+=max(mat[i-1][j], mat[i][j-1]); 16 } 17 printf("%d ", mat[N][N]); 18 } 19 return 0; 20 }
然后我们再想想，空间复杂度$O(N^2)$其实是没必要哒！因为给每个格子判断只会用到它左边和上边的格子，也就是说只需要保存上一行就行了，判断完这一行的格子就可以覆盖掉了，上两行以上根本没必要保留，因为我们只要求最大值，不是求产生的最大值的路径，因此没必要保存下来（这是ACM中的滚动数组技术）。于是空间复杂度愉快地降到了$O(N)$。
1 #include <stdio.h> 2 3 inline int max(int&a, int&b) { 4 return a>b?a:b; 5 } 6 7 int T, N, mat[1001], x; 8 int main() { 9 scanf("%d", &T); 10 while(T--) { 11 scanf("%d", &N); 12 for(int i=1; i<=N; i++) 13 mat[i]=0; 14 for(int i=1; i<=N; i++) 15 for(int j=1; j<=N; j++) { 16 scanf("%d", &x); 17 mat[j]=max(mat[j-1], mat[j])+x; 18 } 19 printf("%d ", mat[N]); 20 } 21 return 0; 22 }
比较遗憾的是，现场没有多少人能够做出来这道简单DP题，如果模仿去年新生赛决赛其中一题的难度，即求到终点对某个数$P$取模的最大值的话，估计会更惨。。。。
——by BlackStorm, from here: http://www.cnblogs.com/BlackStorm/p/5043638.html .