克鲁斯卡尔算法(Kruskal算法)求最小生成树
克鲁斯卡尔算法简介
克鲁斯卡尔算法是一种用来寻找最小生成树的算法（用来求加权连通图的最小生成树的算法）。在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次小边。
而具体的操作过程为：
a) 将图的所有连接线去掉，只剩顶点
b) 从图的边集数组中找到权值最小的边，将边的两个顶点连接起来
c) 继续寻找权值最小的边，将两个顶点之间连接起来，如果选择的边使得最小生成树出现了环路，则放弃该边，选择权值次小的边
d) 直到所有的顶点都被连接在一起并且没有环路，最小生成树就生成了。
两个核心问题
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一直接采用排序算法进行排序即可。
问题二的核心思想是记录处理，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
例如，使用克鲁斯卡尔算法找图 1 的最小生成树的过程为：
首先，在初始状态下，对各顶点赋予不同的标记（用颜色区别），如下图所示：
（1）
对所有边按照权值的大小进行排序，按照从小到大的顺序进行判断，首先是（1，3），由于顶点 1 和顶点 3 标记不同，所以可以构成生成树的一部分，遍历所有顶点，将与顶点 3 标记相同的全部更改为顶点 1 的标记，如（2）所示：
（2）
其次是（4，6）边，两顶点标记不同，所以可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（3）
其次是（2，5）边，两顶点标记不同，可以构成生成树的一部分，更新所有顶点的标记为：
（4）
然后最小的是（3，6）边，两者标记不同，可以连接，遍历所有顶点，将与顶点 6 标记相同的所有顶点的标记更改为顶点 1 的标记：
（5）
继续选择权值最小的边，此时会发现，权值为 5 的边有 3 个，其中（1，4）和（3，4）各自两顶点的标记一样，如果连接会产生回路，所以舍去，而（2，3）标记不一样，可以选择，将所有与顶点 2 标记相同的顶点的标记全部改为同顶点 3 相同的标记：
（6）
当选取的边的数量相比与顶点的数量小 1 时，说明最小生成树已经生成。所以最终采用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树为（6）所示。
完整代码
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#define MAX_VERtEX_NUM 20
#define VertexType int
typedef struct edge{
VertexType initial;
VertexType end;
VertexType weight;
}edge[MAX_VERtEX_NUM];
//定义辅助数组
typedef struct {
VertexType value;//顶点数据
int sign;//每个顶点所属的集合
}assist[MAX_VERtEX_NUM];
assist assists;
//qsort排序函数中使用，使edges结构体中的边按照权值大小升序排序
int cmp(const void *a,const void*b){
return ((struct edge*)a)->weight-((struct edge*)b)->weight;
}
//初始化连通网
void CreateUDN(edge *edges,int *vexnum,int *arcnum){
printf("输入连通网的边数：
");
scanf("%d %d",&(*vexnum),&(*arcnum));
printf("输入连通网的顶点：
");
for (int i=0; i<(*vexnum); i++) {
scanf("%d",&(assists[i].value));
assists[i].sign=i;
}
printf("输入各边的起始点和终点及权重：
");
for (int i=0 ; i<(*arcnum); i++) {
scanf("%d,%d,%d",&(*edges)[i].initial,&(*edges)[i].end,&(*edges)[i].weight);
}
}
//在assists数组中找到顶点point对应的位置下标
int Locatevex(int vexnum,int point){
for (int i=0; i<vexnum; i++) {
if (assists[i].value==point) {
return i;
}
}
return -1;
}
int main(){
int arcnum,vexnum;
edge edges;
CreateUDN(&edges,&vexnum,&arcnum);
//对连通网中的所有边进行升序排序，结果仍保存在edges数组中
qsort(edges, arcnum, sizeof(edges[0]), cmp);
//创建一个空的结构体数组，用于存放最小生成树
edge minTree;
//设置一个用于记录最小生成树中边的数量的常量
int num=0;
//遍历所有的边
for (int i=0; i<arcnum; i++) {
//找到边的起始顶点和结束顶点在数组assists中的位置
int initial=Locatevex(vexnum, edges[i].initial);
int end=Locatevex(vexnum, edges[i].end);
//如果顶点位置存在且顶点的标记不同，说明不在一个集合中，不会产生回路
if (initial!=-1&& end!=-1&&assists[initial].sign!=assists[end].sign) {
//记录该边，作为最小生成树的组成部分
minTree[num]=edges[i];
//计数+1
num++;
//将新加入生成树的顶点标记全不更改为一样的
for (int k=0; k<vexnum; k++) {
if (assists[k].sign==assists[end].sign) {
assists[k].sign=assists[initial].sign;
}
}
//如果选择的边的数量和顶点数相差1，证明最小生成树已经形成，退出循环
if (num==vexnum-1) {
break;
}
}
}
//输出语句
for (int i=0; i<vexnum-1; i++) {
printf("%d,%d
",minTree[i].initial,minTree[i].end);
}
return 0;
}
测试数据：
输入连通网的边数：
6 10
输入连通网的顶点：
1
2
3
4
5
6
输入各边的起始点和终点及权重：
1,2,6
1,3,1
1,4,5
2,3,5
2,5,3
3,4,5
3,5,6
3,6,4
4,6,2
5,6,6
1,3
4,6
2,5
3,6
2,3