矩阵 $A^{m * n}$,向量 $x=left[x_{1}, x_{2},ldots x_{n} ight]^{T}$,$y=left[y_{1}, y_{2}, ldots, y_{m} ight]$
公式 1 $quad A=left[a_{1}, a_{2}, ldots a_{n} ight]$， $A x=sum limits _{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$
公式 2 $quad A=left[a_{1}, a_{2}, ldots, a_{m} ight]^{T}$, $y A=sum limits _{i=m}^{n} y_{i} x_{i}$
也就是说矩阵乘以列向量等以向量中每个元素乘以对应列再相加, 行 向量乘以矩阵等于行向量每个元素分别乘以对应的行再相加
1 初等矩阵左乘, 相当于行变换
由公式 2 可以引申出来， $mathrm{YA}=mathrm{C}$ ，则 $mathrm{C} $ 的第 $mathrm{i}$ 行元素等于 $mathrm{Y}$ 的第 $mathrm{i}$ 行元素，按照从左到右的顺序分别乘以 $mathrm{A}$ 中对应的列, 然后再相加。举个例 子:
$A=left[egin{array}{lll}1 & 2 & 3 \4 & 5 & 6 \7 & 8 & 9end{array} ight]$
如何让 $mathrm{A}$ 的第一行和第二行换下呢 ? 根据公式 2 的引申，则可以知道，让 $mathrm{Y}$ 的第一行的第一列元素为 $0$ ， 第一行第二列元素为 $1$，第三行第三列元素为 $0$ ， 则可以完成 $A$ 中第二行元素跑到第一行去， 同理可以让 $A$ 中第一行 元素跑到第二行去也就是
$egin{array}{c}Y=left[egin{array}{lll}0 & 1 & 0 \1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1end{array} ight] \Y A=left[egin{array}{lll}4 & 5 & 6 \1 & 2 & 3 \7 & 8 & 9end{array} ight]end{array}$
2 初等矩阵右乘, 相当于列变换
由公式 1 可以引申出来，$mathrm{AX}=mathrm{C}$， $mathrm{C}$ 中的第 $ mathrm{i}$ 列的元素等于 $ mathrm{X}$ 中第 $mathrm{i} $ 列的元素从上到下，按照顺序㑊次乘以 $ mathrm{A}$ 中的第 $mathrm{i} $ 行，然后再加起来。同样举个例子
$A=left[egin{array}{lll}1 & 2 & 3 \4 & 5 & 6 \7 & 8 & 9end{array} ight]$
如何做到让 $mathrm{A}$ 的第一列和第二列交换 ? 根据公式 1 的引申很容易得到，只 要 $X$ 的第一列为 $0,1,0$ ; 第二列为 $1,0,0 $, 第三列 $0,0,1$ 即可也就是
$egin{array}{c}Xleft[egin{array}{lll}0 & 1 & 0 \1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1end{array} ight] \A X=left[egin{array}{lll}2 & 1 & 3 \5 & 4 & 6 \8 & 7 & 9end{array} ight]end{array}$