欧拉函数 学习笔记

基础印象

(φ(n)) ，多么小巧的符号！它就是欧拉函数(Euler's totient function)，表示小于等于n的、与n互质的数字的个数。

比如(φ(1)=1,φ(5)=2,φ(12)=4)…

具体解释来，12与1、5、7、11互质，(φ(12)=4)

注意：1与任何数互质，包括自己

开始烦人的推导了

那么显然地:

• 当n为质数时 (φ(n)=n-1)

接下来，如果 (n=p^k) ，那么 ((0,p)) 和 ((p,2p)) 和 ((2p,3p)) …这些区间都与n互质。每个区间包含 (p-1)个数字,共 (p^{k-1}) 个区间，所以：

• 当 (n=p^k) 时， (φ(n)=p^{k-1}*(p-1))

欧拉函数是积性函数( 即a与b互质时，(φ(a)*φ(b)=φ(a*b)) ),所以对于

(n=a*b*c*d*…)时，(φ(n)=φ(a)*φ(b)*φ(c)*φ(d)*...)

推一推式子即可扩展到一般情况：

• 当 (n=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}*…*p_m^{k_m}*)时，即(n=prod^m_{i=1}p^{k_i}_i)时，有$$φ(n)=n*prod^m_{i=1}{dfrac{p_i-1}{p_i}}$$

欧拉函数其它性质

• 当n为奇数时，(φ(n)=φ(2n))

• (n=sum_{d|n}φ(d)) 即 (n=φ(它的一个因子)+φ(它的另一个因子)+...)

• 如果(n=p^k)且p为质数，则(φ(n)=p^k-p^{k-1})（比如(16=2^4),那么不互质的有2、4、6、8、10、12、14、16，共(n/p)个,所以(φ(n)=n-n/p=p^k-p^{k-1})

• 若n与m互质，则(n^{φ(m)}equiv 1 pmod {m})

• 上面那条可以扩展：(a^{b} equivleft{egin{array}{ll} a^{b mod varphi(p)}, & operatorname{gcd}(a, p)=1 \ a^{b}, & operatorname{gcd}(a, p) eq 1, b<varphi(p) quad(mod\, p) \ a^{b mod varphi(p)+varphi(p)}, & operatorname{gcd}(a, p) eq 1, b geq varphi(p) end{array} ight.)

求欧拉函数

实现-求出一个数的欧拉函数:

1. 暴力枚举 (1 sim sqrt{n})，然后判断 i和n 的 gcd是否为1。Time: (O(logn sqrt{n}))
2. 枚举n的质因数，然后用上面的公式求得。代码实现如下。Time: (O(logn))

lon phi(lon z){
	lon sqr=sqrt(z),tot=z;
	rep(i,2,sqr){
		if(z%i)continue;
		tot=tot/i*(i-1);
		while(z%i==0)z=z/i;
	}
	return tot;
}

if(z>1)tot=tot/z*(z-1); 指的是如果z大于1，证明还有一个质数没有处理（如果是两个质数，那么sqr肯定会大于小的那个，然后它就被处理），然后处理就行了。

实现-求出 (1 sim sqrt{n}) 的所有欧拉函数值

1. 打表 Time: (O(1)) （啊这
2. 因为有 (φ(n)=n*prod^m_{i=1}{dfrac{p_i-1}{p_i}}) ,所以反过来，对于每一个p，我们将p的倍数乘上(dfrac{p-1}p)， 代码实现如下。Time: (O(n))

void do_phi(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(phi[i])continue;
        for(int j=i;j<=n;j=j+i){
  	        if(!phi[j])phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
    }
}