GCD&exGCD 学习笔记

GCD

int do_gcd(int p,int q){
	if(!q)return p;
	else return do_gcd(q,p%q);
}

Time: (O(logn))

• 有一个定理：(lcm(a,b)*gcd(a,b)=a*b)，求完gcd后可以Time:(O(1))求lcm

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Ex_GCD (恶心gcd)

推导

由裴蜀定理得 (ax+by=c) ，当c是gcd(a,b)的倍数的时候，才能有解

那么从基础的地方开始：如何求 (ax+by=gcd(a,b)) ？ 因为解决完这个问题后， 答案再乘上 (a/gcd(a,b)) 就行了

解法:（来源于oi-wiki )

(a x_{1}+b y_{1}=operatorname{gcd}(a, b))

(b x_{2}+(a mod b) y_{2}=operatorname{gcd}(b, a mod b))

由欧几里得定理可知: (quad operatorname{gcd}(a, b)=operatorname{gcd}(b, a mod b))

所以 (a x_{1}+b y_{1}=b x_{2}+(a mod b) y_{2})

又因为 (a mod b=a-left(leftlfloorfrac{a}{b} ight floor imes b ight))

所以 (a x_{1}+b y_{1}=b x_{2}+left(a-left(leftlfloorfrac{a}{b} ight floor imes b ight) ight) y_{2})

(a x_{1}+b y_{1}=a y_{2}+b x_{2}-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor imes b y_{2}=a y_{2}+bleft(x_{2}-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_{2} ight))

因为 (a=a, b=b,) 所以 (x_{1}=y_{2}, y_{1}=x_{2}-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_{2})

将 (x_{2}, y_{2}) 不断代入递归求解直至 gcd （最大公约数, 下同) 为 (0) 递归 (x=1, y=0) 回去求解。

• 结论：两个式子可以得出 (x_{1}=y_{2}, y_{1}=x_{2}-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_{2}) 直到(x=1,y=0)时返回0

代码

void exgcd(int p,int q,int &x,int &y){
	if(!q){x=1,y=0;return ;}
    exgcd(q,p%q,x,y);
    int tmp=x;
    x=y,y=tmp-(p/q)*y;
    return z;
}

Time:(O(logn)) ( 因为p和q和gcd复杂度是一样的，而终止条件也是p=0 )

用递归做可以让常数稍微减少，但问题不大就懒得写了qwq