乘法逆元 学习笔记

下面设要求逆元的数是 n ，对 mo 求逆元。

费马小定理

当模数为质数才能用。 逆元为：(n^{(mo-2)}\%mo)，快速幂可以解决。Time: (O(log\,mo))一般(mo=1000000007)或(998244353)时，(log\,mo)大约是30。

Ex_gcd

模数不为质数也可以用。 求解 exgcd(n,mo,x,y)，得到的x就是逆元。Time和费马小定理一样。

注意求解完建议 x=(x+mo)\%mo 。怕x是负数或者大于mo。（但是似乎x不会小于 -mo ，我也不清楚，保险可以加个while什么的）

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线性求逆元

有递推公式如下：

inv[i]=mo-(mo/i)*inv[mo%i]%mo;

Time:(O(n))

坏处：时间慢，n过大时数组存不下

好处：可以求出1~n所有逆元，所以建议求多次逆元时使用

不过好像如果数组存不下，可以用递归+记忆化（比如你数组能开十万，你就把十万内的逆元记下来，其它的就递归硬算）跑起来挺快的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mo=998244353;
int n,inv[10000007];

int do_inv(int z){
	if(z<=10000000){//数组能开多大就开多大
		if(inv[z]!=-1)return inv[z];
		inv[z]=mo-(mo/z)*do_inv(mo%z)%mo;
		return inv[z];
	}
	else return mo-(mo/z)*do_inv(mo%z)%mo;
}

int main(){
    memset(inv,-1,sizeof inv);
    inv[1]=1;
    while(cin>>n)cout<<do_inv(n)<<endl;
}