% CDW
前置知识
多项式
(f(x)=sumlimits_{ige 0}^n a_ix^i)
求导
？
积分
？
TayLor 展开
？
生成函数
基本
对于一个数列 ({a}) ，把其当做多项式的系数，故 (A(x)=sumlimits_{kge 0}a_kx^k)
以及广义二项式定理：((1+z)^alpha=sumlimits_{kge 0}frac{alpha ^{kdownarrow}}{k!}=sumlimits_{kge 0}(^a_k)x^k)
其中 (a^{kdownarrow}=a(a-1)(a-2)(a-3)...(a-k+1))
……
前缀和
一阶前缀和
(S(z)=sumlimits_{i=1}^za_i)
用力将 (S(z)) 星空爆裂，于是有
(S(z)=(1+z+z^2+...)A(z)=frac{1}{1-z}A(z))
k 阶前缀和
越来越抽象……我们已经飘至宇宙的空间交深处……
待填
花式生成函数
({a_0,a_1,a_2,...}=A(z))
则 ({a_0,0,a_2,0,a_4,...}=A(z^2))
以及 ({a_0,0,a_2,0,a_4,.. }=frac{A(z)+A(-z)}{2}) 就是偶数项会相加，奇数项会相减，然后除以二。
那么 (b_n=a_n·[m|n],B(z)=?)
待填
单位根反演还是伸缩反演（待填）
(sumlimits_{i=0}^{m-1}=(omega_m^{ki})^i=?)
(=frac{1-w_m^{km}}{1-w_m^k}) 吗？
错误，因为当 (k|m) 时分母为 0 无意义！
所以原式 (=1.m(m|k时) 2.0(m不能|k时))
不会大括号和不整除号待填
于是生成函数 (B(z)=frac{sumlimits_{i=0}^{m-1}A(w_m^iz)}{m})
叫单位根反演还是伸缩反演？待填
线性递推
例题：斐波那契数列有 (F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1))
注意这才是标准的、唯一的斐波那契数列。
其生成函数有 (F(z)=zF(z)+z^2F(z)+z)
(F(z)=frac{z}{1-z-z^2})
因式分解什么什么的得到通项公式（就是那个带很多根号五的……）
解析组合
用花体字表示一个什么什么？？？？、 (mathcal{ABCDEFGIHKLMNOPQRSTUVWXYZ})
笛卡尔积
(mathcal{A*B={r=(alpha,eta),alphain A,etain B}})
即二元组的形式。
正如 ({R(数轴) imes R(数轴)=R^2(平面直角坐标系)})
所以 (mathcal{C=A imes B}) （？形式）等同于 (C(z)=A(z) imes B(z)) （生成函数）
集合的和
若 (A igcap B=empty) 则，令人啧啧称奇的，(C=Aigcap B) 等同于 (C=A+B) ，以及 (C(z)=A(z)+B(z))。
序列
(mathcal A) 的序列 (SEQ(A)={{empty}+mathcal{ A + A imes A + A imes A imes A+...} })
设 (mathcal A) 生成函数为 (f) ，则 (SEQ) 生成函数为 (Q[f]=1+ f + f imes f +...=frac{1}{1-f})
试试看！
(n) 个点有根无标号树计数（儿子有区分）
EXP ！
？
幂集
定义：子集构成的集合
例如： ({1,2,3}) 构成的幂集是 ({empty,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}})
( m{PEST}(A)=prodlimits_{alpha in mathcal A}({empty} + {alpha}))
代表选或者不选这个元素。
经过学长奇奇怪怪而又令人无可辩驳（因为已经傻了）的冗杂推导后，我们得到
( m{PEST}(A) = 带上划线 Exp[A]=exp(sumlimits_{kge 1}frac{(-1)^{(k-1)}}{k}mathcal A(z^k))
待填，改版 Polya 函数
多重集（可重集）
( m{MEST}(mathcal A)=prodlimits_{ain mathcal{A}}SEQ({a}))
(Exp[mathcal A]=prod_{nge 1}(frac{1}{(1-z^n)})^{An}=...=exp (sumlimits_{kge 1}frac{1}{k}A(z^k)))
？题目
学长几个题目：待填放超链接